Уравнение и его корни: определение, правила, примеры

Решение показательных уравнений при помощи замены

Рассмотрим уравнение:

Пример 10

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что $9=3^2$, тогда $9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2$. Здесь мы воспользовались свойством степеней: $(a^n)^m=a^{n*m}$. Подставим:

Обратим внимание, что во всем уравнении все $х$ «входят» в одинаковую функцию — $3^x$. Сделаем замену $t=3^x, \; t>0$, так как показательная функция всегда положительна

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

И второй корень:

Ответ: $x_{1}=1; \; x_{2}=log_{3}(2).$

И еще один пример на замену:

Пример 11

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание $3$. Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член $3=2+1$ и вынести общий множитель $2$:

Подставим в исходное уравнение:

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

И второе значение $t$:

Ответ: $x_{1}=0; \; x_{2}=\frac{3}{2}.$

Иногда встречаются такие показательные уравнения, в которых не сразу видно, как сделать одинаковые функции, а именно одинаковые основания, чтобы произвести замену. Посмотрим на такой пример:

Пример 12

Тут у нас две показательные функции с основаниями $7$ и $3$, и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на $3^x$:

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

Разберем каждое слагаемое:

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену $t=(\frac{7}{3})^x$:

Сделаем обратную замену:

Вспоминаем, что $1=(\frac{7}{3})^0$:

Ответ: $x=0$.

И последний пример на замену:

Пример 13

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

И последнее слагаемое со степенью:

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

Теперь можно сделать замену $t=2^x$ или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель $2^x$):

Ответ: $x=1.$

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера.
Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Пример 14

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании $2$, $5$ и $10$. Очевидно, что $10=2*5$. Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

Воспользуемся формулой $(a*b)^n=a^n*b^n$:

И перекинем все показательные функции с основанием $2$ влево, а с основанием $5$ вправо:

Сокращаем и воспользуемся формулами $a^n*a^m=a^{n+m}$ и $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$:

Ответ:

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

Решение уравнений с дробью

Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:

Раскрыть скобки.
Уединить переменные.
Привести подобные.
Разделить на коэффициент.

Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.

Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:

Избавиться от дробей.
Раскрыть скобки.
Уединить переменные.
Привести подобные.
Разделить на коэффициент.

Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.

Пример №1

Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:

Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре»

Запишем:

Теперь раскроем:

Выполняем уединение переменной:

Выполняем приведение подобных слагаемых:

Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

Пример №2

Здесь выполняем все те же действия:

Задача решена.

Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решение:

Ответ: 0,3.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

Ответ: 0,98.

Задача 3.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Решение:

Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие «У. верно решит ровно 9 задач» входит в условие «У. верно решит больше 8 задач», но не относится к условию «У. верно решит больше 9 задач».

Однако, условие «У. верно решит больше 9 задач» содержится в условии «У. верно решит больше 8 задач». Таким образом, если мы обозначим события: «У. верно решит ровно 9 задач» — через А, «У. верно решит больше 8 задач» — через B, «У. верно решит больше 9 задач» через С. То решение будет выглядеть следующим образом:

Ответ: 0,06.

Задача 4.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме «Тригонометрия», либо к теме «Внешние углы». По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Ответ: 0,35.

Задача 5.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: — лампочка горит, — лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события «лампочка перегорела», «лампочка горит», «лампочка горит»: , где вероятность события «лампочка горит» подсчитывается как вероятность события, противоположного событию «лампочка не горит», а именно: .

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: .

Ответ: 0,975608.

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

Корень уравнения

Мы часто слышим фразу на уроках математики, «найдите корень уравнения», давайте разберёмся, что же это значит.

Пример:

В примере 3+х=7, можно представить вместо буквы число, и уравнение тогда станет равенством, оно может быть либо верным, либо неверным, если поставить х=3, то первичное равенство примет вид 3+3 = 7 и станет неверным, а если х= 4 то равенство 3+4=7 будет верным, а значит х = 4 будет называться корнем или по другому решением уравнения 3+х=7.

Определение.

Отсюда можно выделить следующее определение: корень уравнения — это такое значение неизвестной переменной, при котором числовое равенство будет верным.

Стоит отметить, что корней может быть несколько или не быть вовсе.

Рассмотрим подробнее пример который не будет иметь корней. Таким примером станет 0 * х = 7, сколько бы чисел мы сюда не подставляли равенство не будет верным, так как умножая на ноль будет ноль, а не 7.

Но существуют и уравнения с множественным числом корней, к примеру, х — 3 = 6, в таком уравнении только один корень 9, а в уравнении квадратного вида х2 = 16, два корня 4 и -4, можно привести пример и с тремя корнями х * (х — 1) * (х — 2) = 0, в данном случае три решения ноль, два и один.

Для того чтобы верно записать результат уравнения мы пишем так:

Если корня нет, пишем уравнение корней не имеет;
Если есть и их несколько, они либо прописываются через запятые, либо в фигурных скобках, например, так: {-2, 3, 5};
Еще одним вариантом написания корней, считается запись в виде простого равенства, к примеру неизвестная х а корни 3,5 тогда результат прописывается так: х=3, х=5.
или прибавляя индекс снизух1 =3 , х2 = 5. данным способом указывается номер корня;
Если решений уравнения бесконечное множество, то запись будет либо в виде числового промежутка от и до, или общепринятыми обозначениями. множество натуральных чисел N, целых – Z, действительных — R.

Стоит отметить, что если уравнение имеет два и более корней, то чаще употребляется понятие решение уравнения. Рассмотрим определение уравнения с несколькими переменными.

Решение уравнения с двумя и более переменными, означает, что эти несколько значений превращают уравнение в верное равенство.

Примеры:

Представим, что мы имеем следующее уравнение х + а = 5, такое уравнение имеет две переменные. Если мы поставим вместо них числа 3 и 6 то равенство не будет верным, соответственно и данные числа не являются решением для данного примера. А если взять числа 2 и 3 то равенство превратится в верное, а числа 2 и 3 будут решением уравнения. Представленные уравнения с несколькими переменными, тоже могут или не иметь корня вообще или наоборот иметь множество решений.

Равносильные уравнения

Рассмотрим три уравнения:

$(x+2)(x-3)=0$
$x(x+2)(x-3)=0$
Уравнение (1) имеет два корня: $-2$ и $3$, а уравнение (2) — три корня: $0$, $-2$ и $3$. Каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2), но не каждый корень уравнения (2) является корнем уравнения (1).

При $x=0$ второе уравнение обращается в , а первое — нет.
Уравнение $x(x+2)=3(x+2)$ имеет два корня: $-2$ и $3$.

Каждое решение уравнения (3) является решением уравнения (1) и каждое решение уравнения (1) является решением уравнения (3). Такие уравнения называются равносильными.

Понятие равносильности уравнений распространяется и на уравнения с несколькими переменными. Например, два уравнения с переменными $x$ и $y$ считаются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго и каждое решение второго уравнения служит решением первого.

Пусть первое уравнение $P(x)=0$, а второе $Q(x)=0$ и если они равносильны, то имеет место знак равносильности:

$$P(x)=0\Leftrightarrow Q(x)=0$$

В дальнейшем мы будем часто использовать такую символику.

Свойства равенств

Можно ли, не решая уравнений $2x-5=9$ и $2x=14$, утверждать, что они равносильны? Ответить на этот вопрос помогут нам хорошо известные свойства равенств. Перечислим их:

Рефлексивность. Любое число равно самому себе: $a=a$.
Симметричность. Если одно число равно другому, то это второе число равно первому: если $a=b$, то $b=a$.
Транзитивность. Если первое число равно второму, а второе равно третьему, то первое число равно третьему: если $a=b$ и $b=c$, то $a=c$.
Свойствами, аналогичными указанным свойствам равенств, обладают многие соотношения. Например, параллельность (в множестве прямых плоскости) обладает и .

Действительно, если $a||b$, то $b||a$; если $a||b$ и $b||c$, то $a||c$. Равносильность уравнений обладает всеми тремя свойствами. В самом деле, каждое уравнение равносильно самому себе; если одно уравнение равносильно другому, то второе равносильно первому; если одно уравнение равносильно второму, а второе — третьему, то первое уравнение равносильно третьему.

Приведем еще два свойства равенств, которые нам понадобятся дальше:
Если к обеим частям верного равенства прибавить одно и тоже число, то получится верное равенство: если $a=b$, то

$$a+c=b+c$$
Если обе части верного равенства умножить на одно и то же число, то получится верное равенство: если $a=b$, то

$$a\cdot c=b\cdot c$$

Примеры решения уравнений

Свойства равенств используются при решении уравнений. Покажем это на примере.

Показать решение

Решение:

Прибавим к левой и правой частям уравнения число $42$ (перенесем $-42$ в правую часть уравнения с противоположным знаком).

Получим уравнение: $6x=42$

Если при некотором значении $x$ равенство верно, то верно и равенство которое мы получили, и, наоборот, если при некотором значении $x$ верно равенство которое мы получили, то верно и исходное равенство. Это следует из свойства 4. Значит, уравнения равносильны.

$$6x-42=0\Leftrightarrow6x=42$$

Умножим обе части уравнения на $\frac{1}{6}$ (разделим на $6$). Получим уравнение: $x=7$

Из свойства 5. следует, что последние два уравнения равносильны:

$$6x=42 \Leftrightarrow x=7$$

Следовательно равносильны и уравнения (так как равносильность обладает свойством транзитивности): $6x-42=0 \Leftrightarrow x=7$

Значит число $7$ есть корень исходного уравнения.

Рассмотренный пример показывает, что перенос членов уравнения из одной его части в другую с противоположным знаком и умножение (или деление) обеих частей уравнения на неравное нулю число приводят к уравнению, равносильному данному.

Показать решение

Решение: $\frac{3}{4}x-\frac{5x}{16}=2$

Приведем все слагаемые левой части уравнения к общему знаменателю:

$$\frac{3x}{4}\cdot\frac{4}{4}-\frac{5x}{16}=2$$

$$\frac{12x}{16}-\frac{5x}{16}=2$$

$$\frac{12x-5x}{16}=2$$

$$\frac{7x}{16}=2$$

Домножим обе части равенства на $\frac{16}{7}$ чтобы избавиться от коэффициента при неизвестном, получим:

$$\frac{7x}{16}\cdot\frac{16}{7}=2\cdot\frac{16}{7}$$

Сократим числа $7$ и $16$, получим:

$$x=\frac{32}{7}$$

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Пример 1

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо $х$ даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

Значит, если $х=3$, то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь посложнее.

Пример 2

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны $3$, только вот степени разные – слева степень $(4х-1)$, а справа $(-2)$. Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Пример 3

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием

Как это сделать? Обращаем внимание, что $125=5*5*5=5^3$, а $25=5*5=5^2$, подставим:. Воспользуемся одним из свойств степеней $(a^n)^m=a^{n*m}$:

Воспользуемся одним из свойств степеней $(a^n)^m=a^{n*m}$:

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

И еще один пример:

Пример 4

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить $2$ в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Задачи для самостоятельного решения

Условие

Задача №1.

Найдите корень уравнения: $0,9x-0,6(x-3)=2(0,2x-1,3)$

Решение

$$0,9x-0,6(x-3)=2(0,2x-1,3)$$

Раскроем скобки и приведем подобные.

$$0,9x-0,6x+1,8=0,4x-2,6$$

$$0,3x+1,8=0,4x-2,6$$

Перенесем слагаемые содержащие неизвестную в одну часть, а остальные в другую.

$$1,8+2,6=0,4x-0,3x$$

$$4,4=0,1x$$

Домножим обе части равенства на $10$, тогда получим:

$$x=44$$

Условие

Задача №2.

Решите уравнение: $-36(6x+1)=9(4-2x)$

Решение

$$-36(6x+1)=9(4-2x)$$

Раскроем скобки в обеих частях равенства.

$$-216x-36=36-18x$$

Перенесем переменные вправо, а остальные слагаемые влево.

$$-36-36=-18x+216x$$

Приведем подобные.

$$-72=198x$$

Разделим обе части уравнения на $198$ и получим ответ:

$$x=\frac{-72}{198}$$

Сократим дробь на $18$.

$$x=-\frac{4}{11}$$

Условие

Задача №3.

Чему равен наибольший корень уравнения: $(1,8-0,3y)(2y+9)=0$?

Решение

$$(1,8-0,3y)(2y+9)=0$$

Для решения уравнения нужно воспользоваться свойством произведения. Произведение равно нулю, тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а значит одно из выражений в скобках должно равнятся нулю. Рассмотрим первый случай:

$$1,8-0,3y=0\Rightarrow 1,8=0,3y$$

После переноса слагаемых домножим обе части равенства на $10$ и поделим на $3$.

$$\frac{1,8\cdot 10}{3}=\frac{0,3y\cdot 10}{3}$$

$$\frac{18}{3}=\frac{3y}{3}$$

$$y=6$$

Теперь рассмотрим второй случай:

$$2y+9=0$$

$$2y=-9$$

Разделим обе части равенства на $2$.

$$y=\frac{-9}{2}$$

$$y=-4,5$$

Как мы видим у нас получилось два корня, при которых уравнение обращается в $0$. Для ответа выберем наибольший из данных, т.е:

$$y=6$$

Условие

Задача №4.

Найдите корень уравнения:

$$\frac{3m+5}{4}=\frac{5m+1}{3}$$

Решение

$$\frac{3m+5}{4}=\frac{5m+1}{3}$$

Вспомним, что все наши действия должны быть направлены на приведение уравнения к виду: $x=…$
Поэтому домножим обе части равенства на общий знаменатель $12$, т.е на $4$ и $3$.

$$\frac{3m+5}{4}\cdot \frac{4\cdot 3}{1}=\frac{5m+1}{3}\cdot \frac{4\cdot 3}{1}$$

После сокращения слева на $4$, а справа на $3$ получим:

$$(3m+5)\cdot 3=(5m+1)\cdot 4$$

Раскроем скобки.

$$3m\cdot 3+5\cdot 3=5m\cdot 4+1\cdot 4$$

$$9m+15=20m+4$$

В данном случае $9m$ удобно перенести вправо, так как не придется избавляться от минуса. Сделаем перенос слагаемых, приведем подобные и получим ответ.

$$15-4=20m-9m$$

$$11=11m$$

$$m=1$$

Условие

Задача №5.

При каком значении $a$ уравнение: $3ax=12-x$ имеет корень, равный числу $-9$?

Решение

$$3ax=12-x$$

Если подставить вместо переменной $x$ число $-9$, то получим $a$ при котором эта ситуация имеет место.

$$3a\cdot (-9)=12-(-9)$$

Обратим внимание на правую часть равенства и воспользуемся свойством:

$$-27a=12+9$$

$$-27a=21$$

Разделим обе части уравнения на число $-27$, получим:

$$a=\frac{21}{-27}$$

Сокращаем правую часть равенства на $3$ и получаем окончательный ответ.

$$a=-\frac{7}{9}$$

Графическое изображение линейных и нелинейных уравнений

Абстрагируемся от яблок и рассмотрим графически различные уравнения. Посмотри внимательно на два построенных графика – прямой и параболы, заданными произвольными функциями:

Найди и отметь на обоих рисунках точки $ \displaystyle x$, соответствующие $ \displaystyle y=2$.

Что у тебя получилось?

Ты видишь, что на графике первой функции одному $ \displaystyle y$ соответствует один $ \displaystyle x$.

То есть $ \displaystyle y$ и $ \displaystyle x$ линейно зависят друг от друга, что не скажешь про вторую функцию.

Конечно, ты можешь возразить, что на втором графике $ \displaystyle y=-1$ так же соответствует $ \displaystyle 1$ икс – $ \displaystyle x=0$ , но это только одна точка, то есть частный случай, так как ты все равно можешь найти такой $ \displaystyle y$, которому соответствует не только один $ \displaystyle x$.

Да и построенный график никак не напоминает линию, а является параболой.

Повторюсь, еще раз:

Графиком линейного уравнения должна быть прямая линия.

С тем, что уравнение не будет линейным, если у нас идет $ \displaystyle x$ в какой-либо степени – это понятно на примере параболы, хотя для себя ты можешь построить еще несколько простых графиков, например $ \displaystyle y={{x}^{3}}$ или $ \displaystyle y={{x}^{4}}$.

Но я тебя уверяю – ни один из них не будет представлять собой ПРЯМУЮ ЛИНИЮ.

Не веришь? Построй, а затем сравни с тем, что получилось у меня:

А что будет, если мы разделим что-то на $ \displaystyle x$, например, какое-то число? Будет ли линейная зависимость $ \displaystyle y$ и $ \displaystyle x$?

Не будем рассуждать, а будем строить! Например, построим график функции $ \displaystyle y=\frac{1}{x}$.

Деление одной скобки на другую или на одиночную цифру

Деление на одиночное число предусматривает деление каждого слагаемого на это число:

(a3-a)/2=a3/2-a/2

В сложных ситуациях можно заменить деление произведением и применить правило умножения скобки на число. Эту же закономерность можно использовать, если речь идет о двух скобках.

Пример:

Заменим деление умножением: \.

Выполним умножение: \.

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени. Порядок выполнения действий:

первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных; -заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.

Александр Летов — Магистр физико-математических наук

Умеешь писать статьи?Разбираешься в теме?

Начни писать статьи на заказ!

Особенности решения двойных неравенств

Первой из них является его изображение на координатной оси. Использовать этот способ для простых неравенств нет необходимости. А вот в сложных случаях он может быть просто необходимым.

Для изображения неравенства нужно отметить на оси все точки, которые получились во время рассуждений. Это и недопустимые значения, которые обозначаются выколотыми точками, и значения из неравенств, получившиеся после преобразований

Здесь тоже важно правильно нарисовать точки. Если неравенство строгое, то есть , то эти значения выколотые

В нестрогих неравенствах точки нужно закрашивать.

Потом полагается обозначить смысл неравенств. Это можно сделать с помощью штриховки или дуг. Их пересечение укажет ответ.

Вторая особенность связана с его записью. Здесь предлагается два варианта. Первый — это окончательное неравенство. Второй — в виде промежутков. Вот с ним бывает, что возникают трудности. Ответ промежутками всегда выглядит как переменная со знаком принадлежности и скобок с числами. Иногда промежутков получается несколько, тогда между скобками нужно написать символ «и». Эти знаки выглядят так: ∈ и ∩. Скобки промежутков тоже играют свою роль. Круглая ставится тогда, когда точка исключена из ответа, а прямоугольная включает это значение. Знак бесконечности всегда стоит в круглой скобке.

Как решать уравнения со скобками?

Не все уравнения, содержащие скобки, решаются одинаково. Конечно, чаще всего в них требуется раскрыть скобки и привести подобные слагаемые (при этом способы раскрытия скобок разняться). Но иногда скобки раскрывать не нужно. Рассмотрим все эти случаи на конкретных примерах:

5х — (3х — 7) = 9 + (-4х + 16).
2х — 3(х + 5) = -12.
(х + 1)(7х — 21) = 0.

Решение уравнений через раскрытие скобок

Данный метод решения уравнений встречается наиболее часто, но и он при всей своей кажущейся универсальности, делится на подвиды в зависимости от способа раскрытия скобок.

1) Решение уравнения 5х — (3х — 7) = 9 + (-4х + 16).

В данном уравнении перед скобками стоят знаки минус и плюс. Чтобы раскрыть скобки в первом случае, где перед ними стоит знак минус, следует все знаки внутри скобок поменять на противоположные. Перед второй парой скобок стоит знак плюс, который на знаки в скобках никах не повлияет, значит их можно просто опустить. Получаем:

5х — 3х + 7 = 9 — 4х + 16.

Слагаемые с х перенесем в левую часть уравнения, а остальные в правую (знаки переносимых слагаемых будут меняться на противоположные):

5х — 3х + 4х = 9 + 16 — 7.

Приведем подобные слагаемые:

6х = 18.

Чтобы найти неизвестный множитель х, разделим произведение 18 на известный множитель 6:

х = 18 / 6 = 3.

2) Решение уравнения 2х — 3(х + 5) = -12.

В этом уравнении также сначала нужно раскрыть скобки, но применив распределительное свойство: чтобы -3 умножить на сумму (х + 5) следует -3 умножить на каждое слагаемое в скобках и сложить полученные произведения:

2х — 3х — 15 = -12

-х = -12 + 15

-х = 3

х = 3 / (-1) = 3.

Решение уравнений без раскрытия скобок

Третье уравнение (х + 1)(7х — 21) = 0 тоже можно решить раскрыв скобки, но гораздо проще в таких случаях воспользоваться свойством умножения: произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю. Значит:

х + 1 = 0 или 7х — 21 = 0.

а) х + 1 = 0

х1 = -1.

б) 7х — 21 = 0

7х = 21

х = 21 / 7

х2 = 3.

Основные определения (разбираемся со «сложными» словами)

Одночлены

Одночленами могут быть числа, переменные, произведения чисел и переменных, а так же переменные в степени (если забыл, что такое степень, посмотри тему «Степень и ее свойства»)

Например:

$ 4$
$ x$
$ 4x$
$ 4{{x}^{2}}$
$ 4{{x}^{2}}y$

Все это – одночлены. Видишь у них нет знаков «+» или «-«, как бы нет других членов.

Многочлены

Многочлен – это выражение, состоящее из суммы (или разности) нескольких одночленов различного вида:

$ 4{{x}^{2}}+9x$
$ 2{{x}^{3}}-16{{x}^{2}}+4x$
$ 8x\cdot 4{{y}^{2}}-12+4{{x}^{2}}y-3{{y}^{2}}\cdot {{x}^{4}}+6-5{{y}^{2}}{{x}^{4}}$

Множители

Так, ну давай по порядку. Как нетрудно догадаться, слово «множитель» происходит от слова «умножать».

Возьмем, например, число $ 12$, разложить его на множители означает расписать его в виде «умножения» или, как принято говорить в математике «произведения» множителей.

Так $ 12$ мы можем получить, умножив $ 2$ на $ 6$.

А $ 6$, в свою очередь, можно представить как произведение $ 2$ и $ 3$.

Чтоб было более наглядно, обратимся к картинке:

На картинке мы видим пошаговое разложение на множители, те которые подчеркнуты – это множители, которые дальше разложить уже нельзя.

То есть их нельзя уже представить в виде произведения (можно конечно представить каждое из них как единица, умноженная на само число, но это нам ничего не дает).

Я обещал, что картинка все разъяснит, ну разве из нее не понятно, что, $ 12=2\cdot 6$, а $ 6=2\cdot 3$?

Вот и я говорю, что элементарно!

Иными словами, $ 2\cdot 2\cdot 3=12$.

Тут $ 2$, еще раз $ 2$ и $ 3$ – это и есть множители, на которые мы раскладываем.

Зачем нужно раскладывать многочлен на множители?

Это самый главный вопрос. Я уже говорил – чтобы облегчить тебе жизнь.

Раскладывая многочлен на множители, ты упрощаешь выражение! Ты как бы делишь одну большую и сложную проблему, на несколько маленьких и простых и потом разбираешься с каждой маленькой проблемой по отдельности.

А теперь «официальное» определение.

Для чего нужно знать все пять способов?

Потому что нет универсального способа, подходящего для всех многочленов.

Формула для корней квадратного уравнения

Из формул (9) и (10) вытекает формула для корней квадратного уравнения .

Действительно, в случае, когда D = 0, из формулы (9) получаем:

Следовательно, в случае, когда D = 0, уравнение (1) обладает единственным корнем, который вычисляется по формуле

(11)

В случае, когда D > 0, из формулы (10) получаем:

Таким образом, в случае, когда D > 0, уравнение (1) имеет два различных корня, которые вычисляются по формулам

	(12)
	(13)

Замечание 1. Формулы (12) и (13) часто объединяют в одну формулу и записывают так:

(14)

Замечание 2. В случае, когда D = 0, обе формулы (12) и (13) превращаются в формулу (11). Поэтому часто говорят, что в случае, когда D = 0, квадратное уравнение (1) имеет два совпавших корня, вычисляемых по формуле (11), а саму формулу (11) переписывают в виде:

(15)

Замечание 3. В соответствии с материалом, изложенным в разделе «Кратные корни многочленов», корень (11) является корнем уравнения (1) кратности 2.

В случае, когда D = 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (9) можно переписать по-другому, воспользовавшись формулой (15):

ax2 + bx + c == a (x – x₁)2.

(16)

В случае, когда D > 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (10) с помощью формул (12) и (13) переписывается так:

ax2 + bx + c == a (x – x₁) (x – x₂) .

(17)

Замечание 4. В случае, когда D = 0, корни x₁ и x₂ совпадают, и формула (17) принимает вид (16).

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается «шесть факториал».

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

В нашем случае .

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

В нашем случае .

Что представляет собой раскрытие скобок

С помощью скобок принято определять порядок действий в числовых и буквенных выражениях. Встречаются они и в примерах с переменными. Тем, кому приходилось решать такие примеры, знают, что от выражения в скобках легко переходить к тождественным выражениям без них.

Пример:

3*(2+6)=3*2+3*6

Это и есть переход к тождественным выражениям без скобок, то есть их раскрытие.

Определение

Раскрытие скобок – это действия, направленные на избавления от них, которые применяются в отношении выражений, в которых:

знаки «+», «-» стоят перед скобками, а в них размещены примеры на сложение или вычитание;
числовые или буквенные произведения, а также выражения суммы или разности, которые заключены в скобках.

Сам процесс избавления, или раскрытия рассматривается еще в пределах школьной программы. Самые простые выражения учатся решать школьники начальных классов.

Если посмотреть на процесс шире, и выйти за пределы стандартной школьной программы, можно увидеть, что с помощью таких действий можно решать выражения с отрицательными числами.

Пример:

2+(-1)-(-4).

В итоге после раскрытия получаем:

2-1+4

Можно раскрывать скобки в выражениях с числовым и буквенным произведением. В данном случае произведение будет заменено суммой:

(x+y)*(z+e) заменяем на x*z+x*e+y*z+y*e.

Раскрытие скобок в математике может предполагать работу с дробями, уравнениями, и прочими видами переменных. Рассмотрим подобный пример более детально:

y2 *(2/b+√y-cos(a))

После преобразования будет иметь следующий вид:

у2 *2/b+y2*y-y2*cos(a)

Есть еще одна особенность, которая заслуживает внимания. Правила раскрытия скобок не исключают возможности оформления преобразованного выражения с исходным через знак равенства. Берем пример 2-(6-4). Если мы преобразуем его, получим: 2-6+4. Между исходным и полученным вариантами можно поставить знак равенства: 2-(6-4)=2-6+4

Если приходится решать длинные примеры со множеством действий, может потребоваться записывать промежуточные результаты:

5-(3-(2-1))=5-(3-2+1)=5-3+2-1 или 5-(3-(2-1))=5-3+(2-1)=5-3+2-1