Решебник по геометрии 7-9 класс атанасян, бутузов

Вопросы для повторения к главе III

1. Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными?

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

2. Что такое секущая по отношению к двум прямым? Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

Прямая с называется секущей по отношению к прямым α и b, если она пересекает их в двух точках.

Внутренние накрест лежащие углы: 3 и 6, 4 и 5 — попарно равны.
Внешние накрест лежащие углы: 1 и 8, 2 и 7 — попарно равны.
Внутренние односторонние углы: 4 и 6, 3 и 5 — их сумма 180°.
Внешние односторонние углы: 1 и 7, 2 и 8 — их сумма 180°.
Соответственные углы: 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8 — попарно равны.

3. Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Д а н ос ∩ α, с ∩ b
∠1 = ∠2

Д о к а з а т ьα||b

Д о к а з а т е л ь с и в о
Из середины О отрезка АВ проведём перпендикуляр ОН к прямой α. На прямой b от точки В отложим отрезок ВН₁, равный отрезку АН и проведём отрезок ОН₁. Треугольники ОНА и ОН₁В равны по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АН = ВН₁, ∠1 = ∠2), поэтому ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6. Из равенства ∠3 = ∠4 следует, что точка Н₁ лежит на продолжении луча ОН, то есть точки Н, О и Н₁ лежат на одной прямой, а из равенства ∠5 = ∠6 следует, что угол 6 — прямой (так как угол 5 — прямой). Итак, прямые α и b перпендикулярны к прямой НН₁, поэтому они параллельны.

О т в е т: α||b.

4. Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Д а н ос ∩ α, с ∩ b
∠1 = ∠2

Д о к а з а т ьα||b

Д о к а з а т е л ь с и в о
Так как углы 2 и 3 — вертикальные, то ∠2 = ∠3. Из этих двух равенств следует, что ∠1 = ∠3. Но углы 1 и 3 — накрест лежащие, поэтому прямые α и b параллельны.

О т в е т: α||b.

5. Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Д а н ос ∩ α, с ∩ b
∠1 + ∠4 = 180°

Д о к а з а т ьα||b

Д о к а з а т е л ь с и в о
Так как углы 3 и 4 — смежные, то ∠3 + ∠4 = 180°. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые α и b параллельны.

О т в е т: α||b.

6. Расскажите о практических способах проведения параллельных прямых.

На практике параллельные прямые проводят с помощью: чертёжного угольника и линейки, рейсшины (в чертёжной практике), малки (две деревянные планки, скреплённые шарниром) при столярных работах.

7. Объясните, какие утверждения называются аксиомами. Приведите примеры аксиом.

Аксиомы — утверждения о свойствах геометрических фигур, принимаемые в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия.
Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

8. Докажите, что через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной.

Утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, не может быть доказано на основе остальных аксиом и само является аксиомой.

9. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

10. Какое утверждение называется следствием? Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую.

Следствия — утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем.

Пусть прямые α и b параллельны и прямая с пересекает прямую α в точке М. Если бы прямая с не пересекала прямую b, то через точку М проходили бы две прямые (прямые α и с), параллельные прямой b. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, и, значит, прямая с пересекает прямую b.

← Предыдущая

Следующая →

Кому пригодится данное пособие

Использовать ГДЗ по геометрии Атанасяна для учащихся средней школы могут:

• Родители, которые часто помогают своим детям в выполнении домашних заданий. Однако бывает сложно сразу понять тему и найти верные ответы. Онлайн решебник поможет проконтролировать правильность выполнения работы и объяснить ребёнку решение задачи любой сложности.
• Учащиеся. Школьникам решебник помогает повышать уровень знаний при выполнении домашних заданий во время повышенной учебной нагрузки. Пособие помогает в подготовке к олимпиадам.
• Школьники, которые делают упор на другие дисциплины. Когда нужны высокие оценки по геометрии, но времени на глубокое изучение предмета не хватает, поможет выполнение домашних заданий с помощью сборника готовых ответов. Такой подход позволяет снизить риск получения низкой оценки, а также позволяет быстро понять принципы решения практических задач и доказательства теорем.
• Учителя и репетиторы. При проверке большого количества тетрадей приходится автоматизировать работу. Готовые решения помогут справиться с большими объемами проверяемых материалов.

Решебник по геометрии Атанасяна – решение сложных задач за 7, 8 и 9 класс в один клик

Геометрия занимает в учебной программе школ особое место и рассматривается в качестве более сложной дисциплины, для решения задач и примеров в рамках которой недостаточно знания формул и теорем: потребуется представлять прямые и многогранники на плоскости, понимать особенности пересечения линий и сложения углов.

В связи с этим большая часть школьников испытывает сложности в понимании предмета и нуждается в помощи при выполнении домашних упражнений. Полноценно заменить репетитора в этом вопросе способен решебник по геометрии Атанасян для 7-9 классов, в котором приведены подробные решения по таким темам, как:

• Прямая, отрезок, угол, луч, особенности их измерения и пересечения на плоскости;
• Признаки равенства треугольников, их медианы, биссектрисы и высоты;
• Соотношения между сторонами и углами треугольников, их построение по трем признакам;
• Многоугольники – трапеции, параллелограммы, ромбы, квадраты, прямоугольники;
• Определение площадей четырехугольников и теорема Пифагора;
• Признаки подобия треугольников;
• Окружность, вписанные и описанные углы, касательные и их свойства;
• Векторы, действия с векторами, скалярное произведение векторов;
•  Окружность, ее длина, площадь круга;
• Понятие движения – параллельный перенос и поворот.

Поскольку в учебнике Атанасяна имеются и задачи повышенной сложности, то ГДЗ по геометрии за 7-9 класс помогут в подготовке к экзаменам и олимпиадам.

Хотя геометрия не включается в государственный экзамен по математике в 9 и 11 классе, ее понимание – важная составляющая логического, абстрактного и аналитического мышления школьника, в чем не последнюю роль играют готовые домашние задания.

Главы, содержащиеся в решебнике по геометрии за 7-9 классы Атанасяна

Темы, включенные в данное пособие, отвечают требованиям федерального государственного стандарта (ФГОС). Содержание полностью соответствует разделам основного учебника и раскрывает в полной мере школьную программу на протяжении всех лет изучения:

1. Первоначальные геометрические сведения;
2. Треугольники;
3. Параллельные прямые;
4. Соотношения между сторонами и углами треуг-ка;
5. Четырехугольники;
6. Площадь;
7. Подобные тр-ки;
8. Окружность. Ее длина;
9. Векторы;
10. Метод координат;
11. Скалярное произведение вект-в;
12. Движения;
13. Стереометрия.

Представленные параграфы включают в себя еще по несколько пунктов, поэтому объем данного курса велик. Чтобы справляться с ним, как раз и были придуманы онлайн-ГДЗ, позволяющие не только хорошо учится, но и без посторонней помощи разбирать новые темы или закреплять уже изученный материал. Также школьник сможет готовиться к контрольным и итоговым работам, помогать своим одноклассникам и без страха отвечать на уроке с места или у доски. Все задания выполнены профессиональными учеными, имеющими за плечами огромный опыт, поэтому ошибки исключены.

Геометрия 7 класс (Атанасян) Контрольные работы

Уровень 1 — самый легкий, уровень 2 — средний, уровень 3 — самый сложный.

ГЛАВА I. НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

К-1. Контрольная работа по геометрии с ответами «Основные свойства простейших геометрических фигур. Смежные и вертикальные углы» (урок 10):

К-1 Уровень 1 + Ответы
  К-1 Уровень 2 + Решения
  К-1 Уровень 3 + Решения

ГЛАВА II. ТРЕУГОЛЬНИКИ

К-2. Контрольная работа по геометрии с ответами «Треугольники» (урок 28):

К-2 Уровень 1 + Ответы
  К-2 Уровень 2 + Решения
  К-2 Уровень 3 + Решения

ГЛАВА III. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

К-3. Контрольная работа по геометрии с ответами «Параллельные прямые» (урок 41):

К-3 Уровень 1 + Ответы
  К-3 Уровень 2 + Решения
  К-3 Уровень 3 + Решения

ГЛАВА IV. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

К-4. Контрольная работа по геометрии с ответами «Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника» (урок 49):

К-4 Уровень 1 + Решения
  К-4 Уровень 2 + Решения
  К-4 Уровень 3 + Решения

К-5. Контрольная работа по геометрии с ответами «Прямоугольный треугольник. Построение треугольника по трем элементам» (урок 61):

К-5 Уровень 1 + Решения
  К-5 Уровень 2 + Ответы
  К-5 Уровень 3 + Ответы

ПОВТОРЕНИЕ за курс 7 класса

К-6 «Итоговая контрольная работа» за курс 7 класса (с ответами).

К-6 Уровень 1 + Ответы
  К-6 Уровень 2 + Решения
  К-6 Уровень 3 + Решения

ПОЯСНЕНИЯ

По прохождении каждой темы предусмотрена контрольная работа, состоящая из заданий трех уровней сложности, которые определяются или учителем, или самим учащимся (при этом число экземпляров вариантов должно быть достаточным). Разумеется, учащиеся должны знать о различной сложности вариантов и критериях оценки контрольной работы.

Каждая контрольная работа составлена в 6 вариантах различной сложности (варианты 1, 2 самые простые, варианты 3, 4 сложнее и варианты 5, 6 самые сложные). При этом сложность вариантов нарастает не очень резко. Каждый вариант содержит 6 задач примерно одинаковой сложности (может быть, несколько сложнее две последние задачи).

Атанасян 7. Поурочные планы
  Самостоятельные работы

Вы смотрели: Геометрия 7 Контрольные работы Атанасян — контрольные работы по геометрии в 7 классе с ответами и решениями по УМК Атанасян и др. (3 уровня сложности по 2 варианта). В учебных целях использованы цитаты из пособия «Поурочные разработки по геометрии. 7 класс / Гаврилова Н.Ф», которое используется в комплекте с учебником «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».

Только отличные отметки с ГДЗ по геометрии за 7-9 классы Атанасяна

Справиться со всеми трудностями, возникшими при решении задач по этому курсу, поможет решебник. В нем приведены пошаговые действия математических заданий с разъяснениями, с помощью которых школьник сможет:

• лучше усвоить и запомнить изучаемые темы;
• быстро и качественно выполнить домашнее задание;
• более эффективно подготовиться к самостоятельной и контрольной работе.

Онлайн-режим доступен в любое время и прост в использовании: достаточно кликнуть на номер задания и откроются правильные решения. Пользоваться пособием можно как с компьютера, так и с любого смартфона или планшета, главное иметь доступ к Интернету.

Учитель математики может рассматривать учебно-методический комплекс как шаблон для составления своей уникальной программы, которая поможет ему донести изучаемый материал до каждого ученика в классе, а также для составления заданий к контрольным или итоговым проверочным работам.

С помощью решебника по геометрии для 7-9 классов Атанасяна каждый родитель сможет стать полноценным репетитором для своего ребенка и вместе с ним разобраться в решении более сложных для него заданий.

Только пятерки с ГДЗ по геометрии для 7-9 классов (авторы: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдин)

На седьмом этапе обучении у школьников появляется множество дополнительных предметов, а математика вообще разделяется на две отдельные дисциплины – алгебру и геометрию. Вторая в свою очередь учит детей пространственному мышлению, работе с различными геометрическими фигурами. Задача учителя – объяснить для чего им это нужно

Важно правильно донести информацию, чтобы заинтересовать учеников, а не отбить у них все желание осваивать данный предмет

Чтобы можно было самостоятельно дома или в школе выполнять задания без посторонней помощи, если возникают какие-то трудности, пользуйтесь готовыми домашними заданиями Атанасяна Левона Сергеевича издательства «Просвещение» 2016 года. Этот задачник поможет обучающемуся на протяжении трех лет: в седьмом, восьмом и девятом классе.

Такое пособие содержит в себе:

1. Только верные ответы ко всем номерам из основного учебника;
2. Подробно расписанные решения к каждой задаче и вопросу;
3. Попутные комментарии к особым случаям;
4. Удобную навигацию, позволяющую без труда найти то или иное задание.

Просто выберете интересующую главу, кликните на номер страницы и перед вами откроются подробные описания всех упражнений. Главное – сначала самостоятельно выполнить заданное, а только потом сверить результаты. Пишите каждое свое действие, чтобы потом легко найти ошибку, проанализировать ее, исправить и впредь больше не допускать помарок.

Задачи

208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°. Найдите эти углы.

Д а н оα||bc — секущая
∠1 — ∠2 = 50°

Н а й т и
∠1 — ?
∠2 — ?

Р е ш е н и е
Так как ∠1 и ∠2 — односторонние при α||b и секущей с, то ∠1 + ∠2 = 180°. ∠1 — ∠2 = 50° ⇒ ∠1 = 50° + ∠2. Тогда ∠1 + ∠2 = 50° + ∠2 + ∠2 = 180° или 2∠2 = 130° или ∠2 = 65°, а ∠1 = 50° + ∠2 = 50° + 65° = 115°.

О т в е т: ∠1 = 115°, ∠2 = 65°.

209. На рисунке 120 α||b, c||d, ∠4 = 45°. Найдите углы 1, 2 и 3.

Д а н оα||bc||d
∠4 = 45°

Н а й т и
∠1 — ?
∠2 — ?
∠3 — ?

Р е ш е н и е
∠4 и ∠2 — соответственные углы при α||b и секущей d, значит ∠4 = ∠2 = 45°. ∠3 и ∠4 — смежные, значит ∠3 + ∠4 = 180° ⇒ ∠3 = 180° — ∠4 = 180° — 45° = 135°. ∠1 и ∠3 — внутренние накрест лежащие углы при c||dи секущей α, значит ∠1 = ∠3 = 135°.

О т в е т: ∠1 = 135°, ∠2 = 45°, ∠3 = 135°.

210. Два тела Р₁ и Р₂ подвешены на концах нити, перекинутой через блоки А и В (рис. 121). Третье тело Р₃ подвешено на той же нити в точке С и уравновешивает тела Р₁ и Р₂. (При этом АР₁||BР₂||СР₃.) Докажите, что ∠ACB = ∠CAP₁ + ∠CBP₂.

Д а н о
РисунокАР₁||BР₂||СР₃

Д о к а з а т ь
∠ACB = ∠CAP₁ + ∠CBP₂

Д о к а з а т е л ь с и в о
Дополнительное построение: луч СD. ∠ACB = ∠ACD + ∠DCB. ∠CAP₁ и ∠ACD — внутренние накрест лежащие углы при АР₁||СР₃ и секущей АС, значит ∠CAP₁ = ∠ACD. ∠CBP₂и ∠DCB — внутренние накрест лежащие углы при СР3||ВР2 и секущей СВ, значит ∠CBP₂= ∠DCB. Тогда ∠ACB = ∠ACD + ∠DCB = ∠CAP₁ + ∠CBP₂.

О т в е т: ∠ACB = ∠CAP₁ + ∠CBP₂.

211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

Д а н оα||bс — секущая

Д о к а з а т ь
а) KF||CL
б) KF⏊CK

Д о к а з а т е л ь с и в о
а) ∠ACF и ∠CFE — внутренние накрест лежащие углы при α||b и секущей c, значит ∠ACF= ∠CFE. ∠ACF = ∠1 + ∠2, ∠1 = ∠2, так как CL — биссектриса ∠ACF. ∠CFE = ∠3 + ∠4, ∠3 = ∠4, так как KF — биссектриса ∠CFE. Следовательно, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4. ∠3 и ∠1 — внутренние накрест лежащие углы при KF и CL и секущей CF, ∠3 = ∠1, значит KF||CL.

б) ∠ACF и ∠DFC — внутренние односторонние углы при α||b и секущей c, значит ∠ACF+ ∠DFC = 180°. ∠ACF= ∠1 + ∠2, ∠1 = ∠2, так как CK — биссектриса ∠ACF. ∠DFC = ∠3 + ∠4, ∠3 = ∠4, так как KF — биссектриса ∠DFC. Рассмотрим ΔCFK: ∠KCF + ∠CFK + ∠FKC = ∠1 + ∠3 + ∠FKC = 180°. ∠1 + ∠3 = 1/₂ ∠ACF + 1/₂ ∠DFC = 1/₂(∠ACF + ∠DFC) = 1/₂•180° = 90°. Тогда ∠1 + ∠3 + ∠FKC = 90° + ∠FKC = 180° ⇒ ∠FKC = 180° — 90° = 90°. Так как ∠FKC = 90°, то KF⏊CK.

О т в е т: а) KF||CL, б) KF⏊CK

212. Прямые, содержащие высоты АА₁ и ВВ₁ треугольника АВС, пересекаются в точке Н, угол В — тупой, ∠С = 20°. Найдите угол АНВ.

Д а н о
ΔAВСАА₁, ВВ₁ — высотаАА₁ ∩ ВВ₁ в т. Н∠С = 20°
∠В — тупой

Н а й т и
∠АНВ

Р е ш е н и е
Рассмотри ΔВВ₁С: ∠ВВ₁С = 90°, так как ВВ₁ — высота к АС. Тогда ∠ВВ₁С + ∠В₁СВ + ∠СВВ₁ = 180° ⇒ ∠СВВ₁ = 180° — ∠ВВ₁С — ∠В₁СВ = 180° — 90° — 20° = 70°.
Рассмотрим ΔНВА₁: ∠НА₁В = 90°, так как АА₁ — высота к ВС. ∠НВА₁ = ∠СВВ₁ = 70° — так как вертикальные. ∠АНВ = А₁НВ. Тогда ∠НВА₁ + ∠ВА₁Н + ∠А₁НВ = 180° ⇒ ∠А₁НВ = 180° — ∠НВА₁ — ∠НА₁В = 180° — 70° — 90° = 20°.

О т в е т: ∠АНВ = 20°.