Логарифм — свойства, формулы, график

Примеры задач и неравенств

Самые распространенные типы задач на тему логарифмов — примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.

К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.

При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.

Вот примеры ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.

Как посчитать логарифм

Перед тем, как научиться считать логарифмы, нужно ввести несколько ограничений. Дело в том, что функция логарифма \(log_{a}(b)\) существует только при положительных значениях основания \(a\) и аргумента \(b\). И кроме этого на основание накладывается условие, что она не должно быть равно \(1\).

Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть \(0\). А основание не равно \(1\), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь \(1\) в любой степени это будет \(1\).

При этих ограничениях логарифм существует.

В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.

Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д

Так как (вспоминайте определение отрицательной степени)

Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:

• Во-первых, постарайтесь представить основание и аргумент (то, что стоит под логарифмом) в виде степеней с одинаковым основанием. Параллельно с этим избавляемся от всех десятичных дробей – переводим их в обыкновенные.
• Разобраться в какую степень \(x\) нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Когда у вас там и там степени с одинаковым основанием, это сделать довольно просто.
• \(x\) и будет искомым значением логарифма.

Давайте разберем на примерах.

Пример 1. Посчитать логарифм \(9\) по основанию \(3\): \(log_{3}(9)\)

• Сначала представим аргумент и основание в виде степени тройки:
  $$ 3=3^1, \qquad 9=3^2;$$
• Теперь надо разобраться в какую степень \(x\) нужно возвести \(3^1\), чтобы получить \(3^2\)
  $$ (3^1)^x=3^2, $$
  $$ 3^{1*x}=3^2, $$
  $$ 1*x=2,$$
  $$ x=2.$$
• Вот мы и решили:
  $$log_{3}(9)=2.$$

Пример 2. Вычислить логарифм \(\frac{1}{125}\) по основанию \(5\): \(log_{5}(\frac{1}{125})\)

• Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
  $$ 5=5^1, \qquad \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3};$$
• В какую степень \(x\) надо возвести \(5^1\), чтобы получить \(5^{-3}\):
  $$ (5^1)^x=5^{-3}, $$
  $$ 5^{1*x}=5^{-3},$$
  $$1*x=-3,$$
  $$x=-3.$$
• Получили ответ:
  $$ log_{5}(\frac{1}{125})=-3.$$

Пример 3. Вычислить логарифм \(4\) по основанию \(64\): \(log_{64}(4)\)

• Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
  $$ 64=2^6, \qquad 4=2^2;$$
• В какую степень \(x\) надо возвести \(2^6\), чтобы получить \(2^{2}\):
  $$ (2^6)^x=2^{2}, $$
  $$ 2^{6*x}=2^{2},$$
  $$6*x=2,$$
  $$x=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$$
• Получили ответ:
  $$ log_{64}(4)=\frac{1}{3}.$$

Пример 4. Вычислить логарифм \(1\) по основанию \(8\): \(log_{8}(1)\)

• Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
  $$ 8=2^3 \qquad 1=2^0;$$
• В какую степень \(x\) надо возвести \(2^3\), чтобы получить \(2^{0}\):
  $$ (2^3)^x=2^{0}, $$
  $$ 2^{3*x}=2^{0},$$
  $$3*x=0,$$
  $$x=\frac{0}{3}=0.$$
• Получили ответ:
  $$ log_{8}(1)=0.$$

Пример 5. Вычислить логарифм \(15\) по основанию \(5\): \(log_{5}(15)\)

Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
$$ 5=5^1 \qquad 15= ???;$$
\(15\) в виде степени пятерки не представляется, поэтому этот логарифм мы не можем посчитать. У него значение будет иррациональное. Оставляем так, как есть:
$$ log_{5}(15).$$

Внимание!

Как понять, что некоторое число \(a\) не будет являться степенью другого числа \(b\). Это довольно просто – нужно разложить \(a\) на простые множители.

\(16\) разложили, как произведение четырех двоек, значит \(16\) будет степенью двойки.

Разложив \(48\) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя \(2\) и \(3\), значит \(48\) не будет степенью.

Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.

Распространены случаи логарифмов

Одними из распространенных логарифмов такие в которых основание ровное десять, экспоненте или двойке. Логарифм по основанию десять принято называть десятичным логарифмом и упрощенно обозначать lg(x).

Из записи видно, что основы в записи не пишут. Для примера

Натуральный логарифм – это логарифм у которого за основу экспонента (обозначают ln(x)).

Экспонента равна 2,718281828…. Чтобы запомнить экспоненту можете изучить правило: экспонента равна 2,7 и два раза год рождения Льва Николаевича Толстого. Зная это правило будете знать и точное значение экспоненты, и дату рождения Льва Толстого.

И еще один важный логарифм по основанию два обозначают

Производная от логарифм функции равна единице разделенной на переменную

Интеграл или первообразная логарифма определяется зависимостью

Приведенного материала Вам достаточно, чтобы решать широкий класс задач связанных с логарифмами и логарифмирования. Для усвоения материала приведу лишь несколько распространенных примеров из школьной программы и ВУЗов.

История возникновения логарифмов

В XVI веке возникла необходимость проведения многих приближенных вычислений для решения практических задач, главным образом, в астрономии (например, определение положения судна по Солнцу или звездам).

Эта потребность быстро росла и значительную трудность создавало умножение и деление многозначных чисел. И ученый-математик Непер при тригонометрических расчетах решил заменить трудоемкое умножение на обыкновенное сложение, сопоставив для этого некоторые прогрессии. Тогда деление, аналогично, заменяется на процедуру попроще и надежнее — вычитание, а дабы извлечь корень n-ой степени, нужно разделить логарифм подкоренного выражения на n. Решение такой нелегкой задачи в математике явно отображало цели Непера в науке. Вот как он писал об этом в начале своей книги «Рабдология»:

Название логарифма предложил сам Непер, он был получен путем совмещения греческих слов, которые в сочетании означали “число отношений”.

Основание логарифма ввел Спейдел. Его заимствовал Эйлер из теории о степенях и перенес в теорию логарифмов. Понятие логарифмирования стало известным благодаря Коппе в XIX веке. А использование натуральных и десятичных логарифмов, а также их обозначения появились благодаря Коши.

В 1614 году Джон Непер издал на латыни сочинение «Описание удивительной таблица логарифмов». Там было изложено краткое описание логарифмов, правил и их свойств. Так термин «логарифм» утвердился в точных науках.

Операцию логарифмирования и первое упоминание о ней появилось благодаря Валлису и Иоганну Бернулли, а окончательно установлена она была Эйлером в XVIII веке.

Именно заслуга Эйлера в распространении логарифмической функции вида y = logax на комплексную область. В первой половине XVIII века вышла его книга «Введение в анализ бесконечных», где были современные определения показательной и логарифмической функций.

Формула замены основания логарифма

Иметь дело с натуральным логарифмом намного проще, чем с логарифмом, имеющим произвольное основание. Именно поэтому попробуем научиться приводить любой логарифм к натуральному, либо выражать его по произвольному основанию через натуральные логарифмы.

Начнем с логарифмического тождества:

Тогда любое число, либо переменную у можно представить в виде:

где х — любое число (положительное согласно свойствам логарифма).

Данное выражение можно прологарифмировать с обеих сторон. Произведем это при помощи произвольного основания z:

Воспользуемся свойством

Отсюда получаем универсальную формулу:

В частности, если z=e, то тогда:

Нам удалось представить логарифм по произвольному основанию через отношение двух натуральных логарифмов.

Решаем задачи

Для того чтобы лучше ориентироваться в натуральных логарифмах, рассмотрим примеры нескольких задач.

Задача 1. Необходимо решить уравнение ln x = 3.

Решение: Используя определение логарифма: если

Задача 2. Решите уравнение (5 + 3 * ln (x — 3)) = 3.

Решение: Используя определение логарифма: если

Тогда:

Еще раз применим определение логарифма:

Таким образом:

Можно приближенно вычислить ответ, а можно оставить его и в таком виде.

Задача 3. Решите уравнение

Решение: Произведем подстановку: t = ln x. Тогда уравнение примет следующий вид:

Перед нами квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:

Первый корень уравнения:

Второй корень уравнения:

Вспоминая о том, что мы производили подстановку t = ln x, получаем:

Используя определение логарифма: если 

Вспомним, что область определения:

Внимание! Когда в логарифмических уравнениях у вас получается два корня или больше, не забывайте про область определения. Аргумент, стоящий под логарифмом никогда не может быть меньше нуля

Если одно из решений делает выражение под логарифмом меньше либо равным нулю — такой корень вам не подходит, исключите его.

40.500. Логарифмические уравнения

Логарифмом числа $ b $ по основанию $ a(c=log_{a}b) $ называется такой показатель степени $ c $, в которую нужно возвести $ a $, чтобы получить $ b $ (то есть $ a^{c}=b $). При этом задаются ограничения: $ a>0, \; a \neq 1, \; b>0$. Значение $ c $ логарифма может быть любым.

Вычислите:

$ log_{3}27, \; log_{\frac {1}{3}}27 $

1. Действуем по определению. Подберем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 27.

$ 3=log_{3}27 $

2. При возведении $ \big(\frac{1}{3} \big)^{-3}=27 $ значит, $ -3=log_{\frac{1}{3}}27 $

Ответ: 3; -3.

Помня об ограничениях, построим по точкам графики логарифмической функция в разных случаях.

Пусть $ y=log_{2}x $. Подставим вместо $ x $ разные числа и определим соответствующие значения переменной $ y $.

Отметим координаты точек на плоскости и соединим их плавной линией.

Легко заметить, что функция все время возрастает. Такое поведение характерно для всех логарифмических функций с основанием больше единицы.

Пусть теперь $ y=log_{\frac{1}{2}}x $. Составим таблицу значений для этого случая.

Тогда график функции будет выглядеть следующим образом.

Все логарифмические функции с основанием от 0 до 1 убывают на всей области определения.

Графики всех логарифмических функций проходят через точку с координатами (1;0).

Особыми знаками принято обозначать логарифмы с основанием десять $ log_{10}a=lga $ и логарифмы с натуральным основанием $ e \approx 2.72 \; log_{e} \; a=In \; a $.

Свойства логарифмов

Для упрощения вычислений при работе с логарифмами полезно знать и уметь использовать основные свойства.

Правило	Формула
Логарифм 1 по любому основанию равен 0.	$log_{a}1=0$
Логарифм числа по равному ему основанию равен 1.	$log_{a}a=1$
Основное логарифмическое тождество. При разведении основание в степень логарифма получается подлогарифмическое выражение.	$a^{log_{a}b}=b$
Логарифм произведения равен сумме логарифмов.	$log_{a}bc=log_{a}b+log_{a}c$

Логарифм частного равен разности логарифмов.	$log_{a} \frac{b}{c}=log_{a}b-log_{a}c$
Показатель степени можно выносить из подлогарифмического выражения за знак логарифма.	$log_{a}b^{p}=plog_{a}b$
Показатель степени можно выносить из основания логарифма, возводя его в -1 степень.	$log_{a^{a}}b=\frac{1}{q}log_{a}b$
Можно представить логарифмов в виде частного логарифмов с новым основанием.	$log_{a}b=\frac {log_{c}b}{log_{c}a}$
Если поменять местами подлогарифмическое выражение и основание логарифма, получится логарифм, обратный исходному.	$log_{a}b=\frac {1}{log_{b}a}$

Используем рассмотренные свойства для решения некоторых задач.

Пример 2

Вычислите $ log_{5}3125 $

1. Представим $ 3125=5^{5} $.

2. Вынесем степень из—под знака логарифма:

$ log_{5}3125=log_{5}5^{5}=5log_{5}5 $

3. Логарифм числа по равному ему основанию равен 1:

$ 5log_{5}5=5 $

Ответ: 5.

Пример 3

Вычислите $ 5^{2+log_{5}3} $

1. Воспользуемся свойством степеней:

$ 5^{2+log_{5}3}=5^{2} \cdot 5^{log_{5}3} $

2. Используем основное логарифмическое тождество:

$ 5^{2} \cdot 5^{log_{5}3}=25 \cdot 3=75 $

Ответ: 75.

Пример 4

Вычислите $ lg125+lg8 $

1. Воспользуемся формулой для суммы логарифмов:

$ lg125+lg8=lg1000 $

2. Представим 1000 = 103 и вынесем 3 за знак логарифма:

$ lg1000=lg10^{3}=3lg10 $

3. Воспользуемся тем, что $ lg10=1 $.

Ответ: 3.

Пример 5

Вычислить $ log_{36}84-log_{36}14 $.

1. Воспользуемся формулой для частного логарифмов:

$ log_{36}84-log_{36}14=log_{36}6 $

2. Преобразуем основание логарифма 36 = 62 и вынесем, «перевернув», вынесем показатель:

$ log_{36}6=log_{6^{2}}6= \frac {1}{2}log_{6}6 $

3. Воспользуемся тем, что $ log_{6}6=1 $

Ответ: 0,5.

Пример 6

Вычислите $ \frac {lg8+lg18}{2lg2+lg3} $.

1. Применим в числителе формулу для сумы логарифмов:

$ \frac {lg8+lg18}{2lg2+lg3}=\frac {lg144}{2lg2+lg3} $

2. В знаменателе внесем 2 под знак логарифма:

$ 2lg2=lg2^{2}=lg4 $

3. Воспользуемся формулой суммы логарифмов для знаменателя:

$ \frac {lg144}{lg4+lg3}=\frac {lg144}{lg12} $

4. Перейдем от частного к логарифму с основанием 12:

$ \frac {lg144}{lg12}=log_{12}144 $

5. Представим 144 = 122, вынесем степень за знак логарифма и воспользуемся соотношением $ log_{12}12=1 $

$ log_{12}144=log_{12}12^{2}=2log_{12}12=2 $

Ответ: 2.

Кроме выражений с числами, на экзамене могут встретиться выражения, содержащие переменные. В этом случае можно использовать те же формулы и правила.

Пример 7

Вычислите $ log_{125}\frac {a^{2} \cdot a}{a^{3}} $

1. Преобразуем отдельно подлогарифмическое выражение:

$ \frac {a^{2} \cdot a}{a^{3}}=a^{2+1-3}=a^{0}=1 $

2. Логарифм 1 по любому основанию равен 0:

$ log_{125}1=0 $

Ответ: 0.

Прочитано
Отметь, если полностью прочитал текст

Определение логарифма, основное логарифмическое тождество

      Рассмотрим два произвольных действительных числа   a   и   b,   удовлетворяющих условиям

(1)

      Определение. Логарифмом числа   b   по основанию   a   называют такую степень, в которую надо возвести число   a,   чтобы получить число   b.

      Другими словами, логарифм числа   b   по основанию   a   – это такое число   x,   которое является решением уравнения

a x= b .

(2)

      Доказательство того, что решение уравнения (2) существует и единственно, выходит за рамки школьной программы.

      Для логарифма числа   b   по основанию   a   используется обозначение:

log_a b .

      Таким образом, для всех действительных чисел   a   и   b,   удовлетворяющих условиям (1), справедливо равенство

которое часто называют основным логарифмическим тождеством.

      Замечание

Обратим особое внимание на то, что при решении уравнения (2) мы ищем показатель степени, а при решении уравнения. x a = b

x a = b.

мы ищем основание степени, которое вычисляется по формуле

и в случае, когда   a   – натуральное число, является корнем натуральной степени из числа   b.

      Пример 1. Решить уравнение

x3 = 81 .

      Решение. Воспользовавшись понятием кубического корня и свойствами степеней, получаем

      Ответ: .

      Пример 2. Решить уравнение

3x= 81 .

      Решение. Воспользовавшись тем, что число   81   является четвертой степенью числа   3 ,   получаем:

      Ответ:   4 .

      Задача. Доказать, что число

log₂ 3

      Решение. Предположим противное, т.е. предположим, что указанное число рационально. Тогда существует несократимая дробь

,

числитель и знаменатель которой являются натуральными числами и такая, что справедливо равенство:

      Из определения логарифма отсюда вытекает равенство:

следствием которого является равенство:

2m= 3n .

      Но последнее равенство невозможно, поскольку его левая часть четное число, а правая – нечетное. Полученное противоречие доказывает требуемое в задаче утверждение.

Основные положения и примеры решения простейших логарифмических неравенств.

С этим разделом могут ознакомиться и выпускники, которые планируют сдавать экзамен по математике на базовом уровне. На профильном экзамене встречаются более сложные неравенства, но их также тем или иным образом требуется сводить к простейшим.

К простейшим относятся логарифмические неравенства, которые содержат неизвестную переменную в составе аргумента логарифмической функции с фиксированным основанием, т.е. это неравенства вида
\(log_a{f(x)} > \log_a{g(x)}\), где \(a>0,\;a\ne1\) и неравенства, сводящиеся к этому виду. В более общих случаях неизвестная величина может встречаться и в основании логарифма.

Чтобы решать как логарифмические неравенства, так и логарифмические уравнения, нужно вспомнить определение и свойства логарифмической функции как таковой.
1) Логарифм – трансцендентная функция, т.е. аналитическая функция, которая не может быть задана с помощью алгебраического уравнения. Поэтому чтобы получить решение простейшего логарифмического неравенства, нужно сначала перейти к алгебраическим соотношениям, т.е. «убрать» логарифм. 2) Логарифм – однозначная и монотонная функция, что означает каждому значению аргумента из области определения соответствует единственное значение функции. Поэтому её можно сравнивать саму с собой и «вычёркивать» логарифм. Как и в каких случаях это делать, рассмотрим на примерых ниже. 3) Главное – логарифмическая функция имеет ограниченную область определения. Это означает, что при решении любых заданий с логарифмами, содержащими переменные, нужно не забывать про ОДЗ (область допустимых значений) этой переменной.

Логарифмом положительного числа \(x\) по основанию \(a\), где \(a>0,\; a\ne 1,\) называется показатель степени, в которую нужно возвести число \(a\), чтобы получить число \(x\). То есть равество \(\log_a{x} = y\) означает \(a^y = x.\)

Область значений функции E = R – всё множество действительных чисел. Т.е. сам логарифм, в отличие от его аргумента и основания, может принимать любые значения из промежутка \((-\infty; +\infty)\).

При a > 1 функция возрастающая,

при a < 1 функция убывающая.

Поэтому для решения простейших логарифмических неравенств достаточно преобразовать обе части неравенства к логарифму с одинаковым основанием и затем сравнить подлогарифмические выражения. Таким образом мы сравниваем функцию с самой собой при разных значениях её аргумента, т.е. как бы «вычёркиваем» log с обеих сторон неравенства. При этом, — если основание степени больше единицы, то знак неравенства без «log» будет таким же, как знак исходного неравенства, что характерно для возрастающих функций – большему значению аргумента соответствует большее значение функции; — если основание степени меньше единицы, то знак неравенства будет обратным по отношению к знаку исходного неравенства, что характерно для убывающих функций – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Пример 1.

Решить неравенство \

Решение.

Воспользуемся определением логарифма, чтобы представить число −2 в виде значения логарифмической функции с основаением 0,2.

Ответ:

Пример 2

Решить неравенство: \

Решение.

Ответ: \(x \in (-\infty;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty). \)

Замечание: Если вы не помните примерные значения иррациональных чисел или их нужно оценить точнее, пользуйтесь рекомендациями раздела сайта «Без калькулятора», в частности, страницей сравнение иррациональных выражений с единицей.

Интересные сведения

Логарифмы (особенно натуральные и десятичные) широко применимы почти во всех сферах деятельности.

Например, в теории простых чисел, количество простых чисел в интервале от 0 до n будет равно приблизительно: 

В математическом анализе, как мы уже убедились ранее, натуральные логарифмы встречаются сплошь и рядом, при этом они объединяют тригонометрические и логарифмические функции при помощи интегралов, например интеграл от тангенса:

В статистике и теории вероятности логарифмические величины встречаются очень часто. Это неудивительно, ведь число е — зачастую отражает темп роста экспоненциальных величин.

В информатике, программировании и теории вычислительных машин, логарифмы встречаются довольно часто, например для того чтобы сохранить в памяти натуральное число N понадобится

В теориях фракталов и размерностях логарифмы используются постоянно, поскольку размерности фракталов определяются только с их помощью.

В механике и физике нет такого раздела, где не использовались логарифмы. Барометрическое распределение, все принципы статистической термодинамики, уравнение Циолковского и прочее — процессы, которые математически можно описать только при помощи логарифмирования.

В химии логарифмирование используют в уравнениях Нернста, описаниях окислительно-восстановительных процессов.

Поразительно, но даже в музыке, с целью узнать количество частей октавы, используют логарифмы.

Натуральный логарифм Функция y=ln x ее свойства

Доказательство основного свойства натурального логарифма

Функция логарифма и ее свойства

Логарифмическая функция имеет вид

Сразу отметим, что график функции может быть возрастающим при a › 1 и убывающим при 0 ‹ a ‹ 1.  В зависимости от этого кривая функции будет иметь тот или иной вид.

• область определения f(x) – множество всех положительных чисел, т.е. x может принимать любое значение из интервала (0; + ∞);
• ОДЗ функции – множество всех действительных чисел, т.е. y может быть равен любому числу из промежутка ( — ∞; +∞);
• если основание логарифма а › 1, то f(x) возрастает на всей области определения;
• если основание логарифма  0 ‹ a ‹ 1, то F – убывающая;
• логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной;
• кривая графика всегда проходит через точку с координатами (1;0).

Построить обе разновидности графиков очень просто, рассмотрим процесс на примере

Для начала необходимо вспомнить свойства простого логарифма и ее функции. С их помощью нужно построить таблицу для конкретных значений x и y. Затем на координатной оси следует отметить полученные точки и соединить их плавной линией. Эта кривая и будет являться требуемым графиком.

Логарифмическая функция является обратной для показательной функции, заданной формулой y=  аx. Чтобы убедиться в этом, достаточно нарисовать обе кривые на одной координатной оси.

Очевидно, что обе линии являются зеркальным отражением друг друга. Построив прямую y = x, можно увидеть ось симметрии.

Для того, чтобы быстро найти ответ задачи нужно рассчитать значения точек для y = log_2⁡x, а затем просто перенести начала точки координат на три деления вниз по оси OY и на 2 деления влево по оси OX.

В качестве доказательства построим расчетную таблицу для точек графика y = log₂⁡(x+2)-3  и сравним полученные значения с рисунком.

Как видно, координаты из таблицы и точек на графике совпадают, следовательно, перенос по осям был осуществлен правильно.

Уравнения и неравенства

Получается, что при определенных условиях показатель степени — это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 3 4 =81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log 3 81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2 -5 = 1/32 запишем в виде логарифма, получим log 2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема «логарифмы». Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.

Дано выражение следующего вида: log 2 (x-1) > 3 — оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение «х» находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.

Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример — логарифм 2 x = √9) подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции. Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.

Свойства логарифмов

• Вопросы занятия:
• · рассмотреть свойства логарифмов;
• ·  подробно рассмотреть примеры, в которых необходимо преобразовать выражения с логарифмами.
• Материал урока
• Прежде чем приступить к изучению новой темы, давайте повторим определение логарифма, основное логарифмическое тождество:

Эти знания нам пригодятся на сегодняшнем уроке.

Сегодня мы рассмотрим основные свойства операции логарифмирования. Заметим, что все свойства мы будем формулировать только для положительных значений переменных, содержащихся под знаком логарифма.

1. Итак, первое свойство формулируется следующей теоремой:
2. Теорема 1.
3. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел, то есть справедлива следующая формула:

Давайте докажем эту теорему.

Введём следующие обозначения.

Нам надо доказать, что выполняется равенство:

Применим определение логарифма.

По свойству произведения степеней с одинаковыми основаниями получим:

Поскольку степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от единицы, то равны и показатели степеней. Значит:

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим пример.

• Сформулируем следующее свойство логарифмов.
• Теорема 2.
• Если а, b, c – положительные числа, причём a ≠ 1, то справедливо равенство:

Другими словами, логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

Или: логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя.

Эта теорема доказывается аналогично предыдущей. Поэтому вы можете доказать её самостоятельно, воспользовавшись свойствами степеней.

1. Рассмотрим пример.
2. Сформулируем следующее свойство.
3. Теорема 3.
4. Если а и b – положительные числа, причём, a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство:
5. Другими словами, логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
6. Эта теорема доказывается аналогично предыдущим, поэтому вы можете доказать её самостоятельно, воспользовавшись свойствами степеней.
7. Рассмотрим пример.
8. Сформулируем следующее свойство.
9. Свойство.
10. Если а и b – положительные числа, причём, a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство:
11. Другими словами: логарифм, основанием которого является степень числа а равен произведению единицы делённой на показатель степени и логарифма числа b по основанию а.
12. Эта теорема доказывается аналогично предыдущим, поэтому доказывать её мы не будем.
13. Рассмотрим пример.
14. Рассмотрим ещё один пример.

То есть нам удалось логарифм достаточно громоздкого выражения представить в виде суммы и разности логарифмов простых выражений. Такое преобразование называют логарифмированием.

Иногда приходиться решать обратную задачу: находить выражение, логарифм которого представлен через логарифмы некоторых чисел. Такое действие называется потенцированием.

При этом используют следующее утверждение:

• Теорема 4.
• Равенство:
• справедливо тогда и только тогда, когда
• Это утверждение следует из монотонности логарифмической функции.
• Рассмотрим пример.

Ещё раз обратите внимание, что все свойства логарифмов мы получили при условии, что переменные принимают положительные значения. А как быть, если про знак переменной ничего неизвестно?

1. Например, можно ли записать:
2. Нет, нельзя, поскольку:
3. Правильнее будет записать так:
4. Мы должны помнить и о том, что:
5. только в том случае, когда b > 0 и с > 0. Если мы в этом не уверены, но знаем, что произведение bc > 0, то, поскольку в этом случае выполняется равенство:
6. то следует использовать формулу:
7. Рассмотрим ещё несколько примеров.
8. Пример.
9. Пример.
10. Пример.
11. Пример.
12. Итак, повторим основные свойства логарифмов: