Призма ️ определение, свойства геометрической фигуры, виды, формулы расчета

Призматические многогранники

Призматический многогранник — это обобщение призмы в пространствах размерности 4 и выше. n-мерный призматический многогранник конструируется из двух (n − 1)-мерных многогранников, перенесённых в следующую размерность.

Элементы призматического n-мерного многогранника удваиваются из элементов (n − 1)-мерного многогранника, затем создаются новые элементы следующего уровня.

Возьмём n-мерный многогранник с элементами fi{\displaystyle f_{i}} (i-мерная грань, i = 0, …, n). Призматический (n+1{\displaystyle n+1})-мерный многогранник будет иметь 2fi+f−1{\displaystyle 2f_{i}+f_{-1}} элементов размерности i (при f−1={\displaystyle f_{-1}=0}, fn=1{\displaystyle f_{n}=1}).

По размерностям:

Берём многоугольник с n вершинами и n сторонами. Получим призму с 2n вершинами, 3n рёбрами и 2+n{\displaystyle 2+n} гранями.
Берём многогранник с v вершинами, e рёбрами и f гранями. Получаем (4-мерную) призму с 2v вершинами, 2e+v{\displaystyle 2e+v} рёбрами, 2f+e{\displaystyle 2f+e} гранями и 2+f{\displaystyle 2+f} ячейками.
Берём 4-мерный многогранник с v вершинами, e рёбрами, f гранями и c ячейками. Получаем (5-мерную) призму с 2v вершинами, 2e+v{\displaystyle 2e+v} рёбрами, 2f+e{\displaystyle 2f+e} (2-мерными) гранями, 2c+f{\displaystyle 2c+f} ячейками и 2+c{\displaystyle 2+c} гиперячейками.

Однородные призматические многогранники

Правильный n-многогранник, представленный символом Шлефли {p, q, …, t}, может образовать однородный призматический многогранник размерности (n + 1), представленный прямым произведением двух символов Шлефли: {p, q, …, t}×{}.

По размерностям:

Призма из 0-мерного многогранника — это отрезок, представленный пустым символом Шлефли {}.
Призма из 1-мерного многогранника — это прямоугольник, полученный из двух отрезков. Эта призма представляется как произведение символов Шлефли {}×{}. Если призма является квадратом, запись можно сократить: {}×{} = {4}.
Пример: Квадрат, {}×{}, два параллельных отрезка, соединённые двумя другими отрезками, сторонами.
многоугольная призма — это 3-мерная призма, полученная из двух многоугольников (один получен параллельным переносом другого), которые связаны прямоугольниками. Из правильного многоугольника {p} можно получить однородную n-угольную призму, представленную произведением {p}×{}. Если p = 4, призма становится кубом: {4}×{} = {4, 3}.
Пример: Пятиугольная призма, {5}×{}, два параллельных пятиугольника связаны пятью прямоугольными сторонами.
4-мерная призма, полученная из двух многогранников (один получен параллельным переносом другого), со связывающими 3-мерными призматическими ячейками. Из правильного многогранника {p, q} можно получить однородную 4-мерную призму, представленную произведением {p, q}×{}. Если многогранник является кубом и стороны призмы тоже кубы, призма превращается в тессеракт: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
Пример: додекаэдральная призма, {5, 3}×{}, два параллельных додекаэдра, соединённых 12 пятиугольными призмами (сторонами).
…

Призматические многогранники более высоких размерностей также существуют как прямые произведения двух любых многогранников. Размерность призматического многогранника равна произведению размерностей элементов произведения. Первый пример такого произведения существует в 4-мерном пространстве и называется дуопризмами, которые получаются произведением двух многоугольников. Правильные дуопризмы представляются символом {p}×{q}.

Семейство правильных призм
Конфигурация	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	17.4.4	∞.4.4
Многоугольник
Мозаика

Как выглядит призма

Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры — прямой параллелепипед.

На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело. К ним принято относить:

Основы призмы — квадраты LMNO и L₁M₁N₁O₁.
Боковые грани — прямоугольники MM₁L₁L, LL₁O₁O, NN₁O₁O и MM₁N₁N, расположенные под прямым углом к основаниям.
Боковые рёбра — отрезки, расположенные на стыке между двумя боковыми гранями: M₁M, N₁N, O₁O и L₁L. Также выполняют роль высоты (поскольку лежат в параллельной основаниям плоскости). В призме боковые рёбра всегда равны между собой — это одно из важнейших свойств этого геометрического тела.
Диагонали, которые, в свою очередь, подразделяются ещё на 3 категории. К ним относится 4 диагонали основания (MO, N₁L₁), 8 диагоналей боковых граней (ML₁, O₁L) и 4 диагонали призмы, начала и концы которых являются вершинами 2 разных оснований и боковых сторон (MO₁, N₁L).

Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение — это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить — 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.

Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.

Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).

Основные определения и свойства призм. Теорема Эйлера

Определение 1. Рассмотрим две α и β , , и произвольный выпуклый A₁A₂ … A_n , лежащий в плоскости α (рис. 1).

Рис.1

Если через каждую точку многоугольника A₁A₂ … A_n провести прямую, p , и обозначить символами A’₁, A’₂, … , A’_n точки пересечения с плоскостью β прямых, p и проходящих через точки A₁, A₂, … , A_n, то полученную фигуру A₁A₂ … A_n A’₁A’₂ … A’_n называют n – угольной призмой (рис.2).

Рис.2

Утверждение 1. Каждый из n четырехугольников

A₁A₂A’₂A’₁, A₂A₃A’₃A’₂, … , A_nA₁A’₁A’_n

является .

Доказательство. Докажем сначала, что параллелограммом является, например, четырехугольник A₁A₂A’₂A’₁. Для этого заметим, что стороны A₁A’₁ и A₂A’₂ параллельны по построению. Заметим также,что прямая A₁A₂ β , так как лежит в плоскости α , которая β . Прямая A’₁A’₂ является линией пересечения плоскости A₁A₂A’₂A’₁ с плоскостью β . Из следует, что прямая A’₁A’₂ параллельна прямой A₁A₂ . Таким образом, у четырехугольника A₁A₂A’₂A’₁ противоположные стороны попарно параллельны, то есть A₁A₂A’₂A’₁ – .

Для остальных четырехугольников доказательство проводится аналогично.

Определение 2.

A₁A₂A’₂A’₁, A₂A₃A’₃A’₂, … , A_nA₁A’₁A’_n

называют боковыми гранями призмы. Совокупность всех боковых граней призмы составляет боковую поверхность призмы.

Определение 3. A₁A₂ … A_n и A’₁A’₂ … A’_n называют основаниями призмы.

Определение 4. Точки A₁, A₂, … , A_n , A’₁, A’₂, … , A’_n ( A₁A₂ … A_n и A’₁A’₂ … A’_n ) называют вершинами призмы.

Определение 5. Отрезки A₁A’₁ , A₂A’₂ , … , A_nA’_n называют боковыми ребрами призмы.

Утверждение 2 . Все боковые ребра призмы равны.

Это утверждение непосредственно вытекает из .

Определение 6. Отрезки A₁A₂ , A₂A₃ , … , A_nA₁ , … , A’₁A’₂ , A’₂A’₃ , … , A’_nA’₁ ( A₁A₂ … A_n и A’₁A’₂ … A’_n ) называют ребрами оснований призмы.

Замечание 1. В случае, когда не требуется делать специальных уточнений,

	боковые ребра и ребра оснований называют ребрами призмы,
	боковые грани и основания призмы называют гранями призмы
	совокупность всех граней призмы (всех боковых граней и оснований) называют полной поверхностью призмы,
	n – угольные призмы называют призмами.

Теорема Эйлера . Для любой призмы справедливо равенство:

число вершин

число граней

–

число ребер

числовершин

числограней

–

числоребер

числовершин

числограней

–

числоребер

Доказательство. Заметим, что у n – угольной призмы 2n вершин, n боковых граней, 2 основания, 2n ребер основания и n боковых ребер. Следовательно, у n – угольной призмы (n + 2) грани и 3n ребер.

Поскольку

2n + (n + 2) – 3n = 2

то теорема Эйлера доказана.

Определение 7., на которых лежат основания призмы, называют высотой призмы.

Замечание 2. С различными формулами для вычисления объема призмы и площадей можно ознакомиться в разделе «Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности призмы».

Замечание 3. С определением сечения призмы и способами построения сечений призмы ожно ознакомиться в разделе «Сечения призмы. Перпендикулярные сечения призмы».

Примеры задач с решениями

Вот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике.

Задание 1.

В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше?

Решение.

Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a. В таком случае для первой коробки объём вещества составит:

V₁ = ha² = 10a²

Для второй коробки длина основания составляет 2a, но неизвестна высота уровня песка:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Поскольку V₁ = V₂, можно приравнять выражения:

10a² = 4ha²

После сокращения обеих частей уравнения на a² получается:

10 = 4h

В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см.

Задание 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.

Решение.

Чтобы было проще понять, какие именно элементы известны, можно изобразить фигуру.

Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения — длина, ширина и высота — равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом.

Длина любого ребра определяется через известную диагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площадь полной поверхности находится по формуле для куба:

Sполн = 6a² = 6·6² = 216

Задание 3.

В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей?

Решение.

Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности.

Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м.

Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м².

Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей.

Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.

Домашнее задание

А теперь давайте попробуем закрепить изученную тему с помощью решения задач.

Давайте нарисуем наклонную треугольную призму, у которой расстояние между ее ребрами будет равно: 3 см, 4 см и 5 см, а боковая поверхность этой призмы будет равна 60 см2. Имея такие параметры, найдите боковое ребро данной призмы.

А вы знаете, что геометрические фигуры постоянно окружают нас не только на уроках геометрии, но и в повседневной жизни встречаются предметы, которые напоминают ту или иную геометрическую фигуру.

У каждого дома, в школе или на работе имеется компьютер, системный блок которого имеет форму прямой призмы.

Если вы возьмете в руки простой карандаш, то вы увидите, что основной частью карандаша, является призма.

Идя по центральной улице города, мы видим, что у нас под ногами лежит плитка, которая имеет форму шестиугольной призмы.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Определение. Призма— это многогранник, все вершины которого расположены в двух параллельных плоскостях, причем в этих же двух плоскостях лежат две грани призмы, представляющие собой равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все ребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны.

Две равные грани называются основаниями призмы (ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Все остальные грани призмы называются боковыми гранями (AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Все боковые грани образуют боковую поверхность призмы.

Все боковые грани призмы являются параллелограммами.

Ребра, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы(AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Диагональю призмы называется отрезок, концами которого служат две вершины призмы, не лежащие на одной ее грани (АD 1).

Длина отрезка, соединяющего основания призмы и перпендикулярного одновременно обоим основаниям,называется высотой призмы.

Обозначение:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Сначала в порядке обхода указывают вершины одного основания, а затем в том же порядке — вершины другого; концы каждого бокового ребра обозначают одинаковыми буквами, только вершины, лежащие в одном основании, обозначаются буквами без индекса, а в другом — с индексом)

Название призмы связывают с числом углов в фигуре, лежащей в ее основании, например, на рисунке 1 в основании лежит пятиугольник, поэтому призму называют пятиугольной призмой. Но т.к. у такой призмы 7 граней, то она семигранник (2 грани — основания призмы, 5 граней — параллелограммы, — ее боковые грани)

Среди прямых призм выделяется частный вид: правильные призмы.

Прямая призма называется правильной,если ее основания-правильные многоугольники.

У правильной призмы все боковые грани равные прямоугольники.Частным случаем призмы является параллелепипед.

Параллелепипед

Параллелепипед — это четырехугольная призма, в основании которой лежит параллелограмм (наклонный параллелепипед).Прямой параллелепипед — параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания.

Прямоугольный параллелепипед — прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.

Свойства и теоремы:

Некоторые свойства параллелепипеда аналогичны известным свойствам параллелограмма.Прямоугольный параллелепипед, имеющий равные измерения, называются кубом.У куба все грани равные квадраты.Квадрат диагонали, равен сумме квадратов трех его измерений

где d — диагональ квадрата; a — сторона квадрата.

Представление о призме дают:

различные архитектурные сооружения;
детские игрушки;
упаковочные коробки;
дизайнерские предметы и т.д.

Площадь полной и боковой поверхности призмы

Площадь полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее гранейПлощадь боковой поверхности называется сумма площадей ее боковых гранейТ.к. основания призмы — равные многоугольник, то их площади равны. Поэтому

S полн = S бок + 2S осн,

где S полн— площадь полной поверхности,S бок -площадь боковой поверхности, S осн — площадь основания

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

S бок = P осн * h,

где S бок -площадь боковой поверхности прямой призмы,

P осн — периметр основания прямой призмы,

h — высота прямой призмы, равная боковому ребру.

Диагонали сторон четырехугольной прямой призмы

На рисунке выше изображены четыре одинаковые прямые призмы, и даны параметры их ребер. На призмах Diagonal A, Diagonal B и Diagonal C штриховой красной линией изображены диагонали трех разных граней. Поскольку призма является прямой с высотой 5 см, а ее основание представлено прямоугольником со сторонами 3 см и 2 см, то отыскать отмеченные диагонали не представляет никакого труда. Для этого необходимо воспользоваться теоремой Пифагора.

Длина диагонали основания призмы (Diagonal A) равна:

D A = √(3 2 +2 2) = √13 ≈ 3,606 см.

Для боковой грани призмы диагональ равна (см. Diagonal B):

D B = √(3 2 +5 2) = √34 ≈ 5,831 см.

Наконец, длина еще одной боковой диагонали равна (см. Diagonal C):

D С = √(2 2 +5 2) = √29 ≈ 5,385 см.

Неправильная четырехугольная призма

Этот тип призмы отличается тем, что ее основания не квадратные; Они могут иметь основания, состоящие из неравных сторон, и представлены пять случаев, когда:

к. Основания прямоугольные

Его поверхность образована двумя прямоугольными основаниями и четырьмя боковыми гранями, которые также являются прямоугольниками, все равны и параллельны.

Чтобы определить его общую площадь, вычисляется каждая площадь шести прямоугольников, которые его образуют, двух оснований, двух малых боковых поверхностей и двух больших боковых поверхностей:

Площадь = 2 (a_* б + а_*h + b_*час)

б. Основания — ромбы:

Его поверхность образована двумя ромбовидными основаниями и четырьмя прямоугольниками, которые являются боковыми гранями, для расчета его общей площади необходимо определить:

Площадь основания (ромб) = (большая диагональ_* малая диагональ) ÷ 2.
Боковая площадь = периметр основания _* height = 4 (стороны основания) * h

Таким образом, общая площадь составляет: A_Т = А_{боковая сторона} + 2А_{основание.}

c. Основания ромбовидные

Его поверхность образована двумя ромбовидными основаниями и четырьмя прямоугольниками, которые являются боковыми сторонами, его общая площадь определяется как:

Площадь основания (ромбовидная) = основание _* относительная высота = B * h.
Боковая площадь = периметр основания _* высота = 2 (сторона a + сторона b) _* час
Итак, общая площадь: A_Т = А_{боковая сторона} + 2А_{основание.}

d. Основания трапециевидные

Его поверхность образована двумя основаниями в форме трапеций и четырьмя прямоугольниками, которые являются боковыми гранями, его общая площадь определяется как:

Площадь основания (трапеция) = h _* .
Боковая площадь = периметр основания _* высота = (a + b + c + d) * h
Итак, общая площадь: A_Т = А_{боковая сторона} + 2А_{основание.}

а также. Основания трапециевидные

Его поверхность образована двумя основаниями трапециевидной формы и четырьмя прямоугольниками, которые представляют собой боковые грани, его общая площадь определяется как:

Площадь основания (трапеция) = = (диагональ_{1 *} диагональ₂) ÷ 2.
Боковая площадь = периметр основания _* height = 2 (сторона a _* сторона б * ч.
Итак, общая площадь: A_Т = А_{боковая сторона} + 2А_{основание.}

Таким образом, чтобы определить площадь любой правильной четырехугольной призмы, необходимо только рассчитать площадь четырехугольника, который является основанием, его периметр и высоту, которую будет иметь призма, в общем, ее формула будет:

Площадь _Общее = 2_* Площадь_{основание} + Периметр_{основание *} высота = A = 2A_б + P_б_* час

Для расчета объема призм этого типа используется та же формула:

Объем = Площадь_{основание}_* высота = A_б_* час

Общая теория

Призмой является любой многогранник, боковые стороны которого имеют вид параллелограмма. При этом в ее основании может оказаться любой многогранник — от треугольника до n-угольника. Причем основания призмы всегда равны друг другу. Что не относится к боковым граням — они могут существенно различаться по размерам.

При решении задач встречается не только площадь основания призмы. Может потребоваться знание боковой поверхности, то есть всех граней, которые не являются основаниями. Полной поверхностью уже будет объединение всех граней, которые составляют призму.

Иногда в задачах фигурирует высота. Она является перпендикуляром к основаниям. Диагональю многогранника является отрезок, который соединяет попарно две любые вершины, не принадлежащие одной грани.

Следует отметить, что площадь основания прямой призмы или наклонной не зависит от угла между ними и боковыми гранями. Если у них одинаковые фигуры в верхней и нижней гранях, то их площади будут равными.

Элементы

Для любой призмы главными ее элементами являются ребра, грани и вершины. Шестиугольная призма не является исключением. Приведенный выше рисунок позволяет посчитать количество этих элементов. Так, граней или сторон мы получаем 8 (два основания и шесть боковых параллелограммов), число вершин составляет 12 (по 6 вершин для каждого основания), количество ребер шестиугольной призмы равно 18 (шесть боковых и 12 для оснований).

В 1750-е годы Леонард Эйлер (швейцарский математик) установил для всех полиэдров, к которым относится призма, математическую связь между числами указанных элементов. Эта связь имеет вид:

Указанные выше цифры удовлетворяют этой формуле.

Свойства прямоугольной призмы

«Урок теорема Пифагора» — Теорема Пифагора. Определить вид четырехугольника KMNP. Разминка. Знакомства с теоремой. Определить вид треугольника: План урока: Исторический экскурс. Решение простейших задач. И обрете лестницу долготою 125стоп. Вычислите высоту CF трапеции ABCD. Доказательство. Показ картинок. Доказательство теоремы.

«Объём призмы» — Понятие призмы. Прямая призма. Объем исходной призмы равен произведению S · h. Как найти объем прямой призмы? Призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Проведение высоты треугольника ABC. Решение задачи. Цели урока. Основные шаги при доказательстве теоремы прямой призмы? Изучение теоремы об объеме призмы.

«Многогранники призма» — Дайте определение многогранника. DABC – тетраэдр, выпуклый многогранник. Применение призм. Где применяются призмы? ABCDMP – октаэдр, составлен из восьми треугольников. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед, выпуклый многогранник. Выпуклый многогранник. Понятие многогранника. Многогранник А1А2..АnB1B2..Bn- призма.

«Призма 10 класс» — Призмой называется многогранник у которого грани находятся в параллельных плоскостях. Применение призмы в быту. Sбок.= Pоснован. + h Для прямой призмы: Sп.п = Pоснов. h + 2Sоснов. Наклонная. Правильная. Прямая. Призма. Формулы нахождения площади. Применение призмы в архитектуре. Sп.п = Sбок.+2Sоснован.

«Доказательство теоремы Пифагора» — Геометрическое доказательство. Значение теоремы Пифагора. Теорема Пифагора. Доказательство Евклида. «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Доказательства теоремы. Значение теоремы состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела — многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Частным случаем является правильная четырёхугольная призма. Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).

Призма

Определения:

Призма – многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.
Основания – это две грани, являющиеся равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях. На чертеже это: ABCDE и KLMNP.
Боковые грани – все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. На чертеже это: ABLK, BCML, CDNM, DEPN и EAKP.
Боковая поверхность – объединение боковых граней.
Полная поверхность – объединение оснований и боковой поверхности.
Боковые ребра – общие стороны боковых граней. На чертеже это: AK, BL, CM, DN и EP.
Высота – отрезок, соединяющий основания призмы и перпендикулярный им. На чертеже это, например, KR.
Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. На чертеже это, например, BP.
Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. Другое определение: диагональная плоскость – плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани.
Диагональное сечение – пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе, иногда, его частные случаи – ромб, прямоугольник, квадрат. На чертеже это, например, EBLP.
Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.

Свойства и формулы для призмы:

Основания призмы являются равными многоугольниками.
Боковые грани призмы являются параллелограммами.
Боковые ребра призмы параллельны и равны.
Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:

где: S_осн – площадь основания (на чертеже это, например, ABCDE), h – высота (на чертеже это MN).

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания:

Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы (на чертеже ниже перпендикулярное сечение это A₂B₂C₂D₂E₂).
Углы перпендикулярного сечения – это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
Перпендикулярное (ортогональное) сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

где: S_сеч – площадь перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра (на чертеже ниже это, например, AA₁или BB₁ и так далее).

Площадь боковой поверхности произвольной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

где: P_сеч – периметр перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра.

Виды призм в стереометрии:

Если боковые ребра не перпендикулярны основанию, то такая призма называется наклонной (изображены выше). Основания такой призмы, как обычно, расположены в параллельных плоскостях, боковые рёбра не перпендикулярны этим плоскостям, но параллельны между собой. Боковые грани – параллелограммы.
Прямая призма – призма, у которой все боковые ребра перпендикулярны основанию. В прямой призме боковые ребра являются высотами. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. А площадь и периметр основания равны соответственно площади и периметру перпендикулярного сечения (у прямой призмы, вообще говоря, перпендикулярное сечение целиком является такой же фигурой, как и основания). Поэтому, площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на длину бокового ребра (или, в данном случае, высоту призмы):

где: P_осн – периметр основания прямой призмы, l – длина бокового ребра, равная в прямой призме высоте (h). Объем прямой призмы находится по общей формуле: V = S_осн∙h = S_осн∙l.

Правильная призма – призма в основании которой лежит правильный многоугольник (т.е. такой, у которого все стороны и все углы равны между собой), а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. Примеры правильных призм:

Свойства правильной призмы:

Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками.
Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками.
Боковые ребра правильной призмы равны между собой.
Правильная призма является прямой.

Особенности количества граней, вершин и ребер?

Четырехугольная призма основания — это многогранная фигура с двумя равными и параллельными основаниями и четырьмя прямоугольниками, являющимися боковыми гранями, соединяющими соответствующие стороны двух оснований..

Четырехугольную призму можно отличить от других типов призм, поскольку она имеет следующие элементы:

Основы (B)

Они представляют собой два многоугольника, образованных четырьмя сторонами (четырехугольником), которые равны и параллельны.

Лица (С)

Всего этот тип призмы имеет шесть граней:

Четыре боковые грани, образованные прямоугольниками.
Два лица, которые являются четырехугольниками, которые образуют основания.

Края: (A)

Это сегменты, где находятся две грани призмы, а именно:

Края основания: это линия соединения между боковой гранью и основанием, всего их 8.
Боковые ребра: это боковая соединительная линия между двумя гранями, всего их 4.

Число ребер многогранника также можно рассчитать с помощью теоремы Эйлера, если число вершин и граней известно; таким образом, для четырехугольной призмы она рассчитывается следующим образом:

Количество ребер = Количество граней + количество вершин — 2.

Количество ребер = 6 + 8 — 2.

Количество ребер = 12.