Постоянная больцмана

Постоянная Больцмана и энтропия

У газа есть заданная температура, но эта температура может соответствовать различным состояниям внутренней энергии. Как визуализировать эту разницу?

Рассмотрим одновременное подбрасывание 4 монет и способы их падения:

Набор монет может принимать в общей сложности 5 состояний, которые считаются макроскопический, описанный на рисунке. Какое из этих состояний, по мнению читателя, является наиболее вероятным?

Ответом должно быть состояние 2 орла и 2 решки, потому что у вас всего 6 возможностей из 16, показанных на рисунке. И 24 = 16. Они эквивалентны состояниям микроскопический.

Что если вместо 4 монет будет брошено 20 монет? Всего будет 220 возможности или «микроскопические состояния». Это намного большее число, и с ним труднее справиться. Для облегчения работы с большими числами очень подходят логарифмы.

Что действительно кажется очевидным, так это то, что состояние с наибольшим беспорядком наиболее вероятно. Более упорядоченные состояния, такие как 4 головки или 4 печати, немного менее вероятны.

Энтропия макроскопического состояния S определяется как:

S = kB ln w

куда ш — количество возможных микроскопических состояний системы и kB — постоянная Больцмана. Как ln w безразмерна, энтропия имеет те же единицы, что и kB: Джоуль / К.

Это знаменитое уравнение на надгробии Больцмана в Вене. Однако важнее, чем энтропия, ее изменение:

ΔS = kB ln w2 — кB ln w1 = kB ln (w2/ w1)

Формула

Такую возможность дает нам как раз наша константа. Энергия рассчитывается по формуле:

1/2mv²=Tk

Где m – масса молекул газа, v – скорость их движения, T – результирующая температура и k – собственно, константа Больцмана. Она равняется 1,38 x 10–23 Дж/К.

Таким образом, в левой части формулы мы видим характеристики атомарного микромира – масса и скорость молекул. В правой же части получаем характеристику макромира, которую мы можем измерить доступными нам инструментами – термометром. Мостик проложен.

Немного отвлечемся от основной темы. А вы знали, что автор нашей постоянной известен своей философской концепцией Больцмановского мозга? В соответствии с ней, вероятность появления интеллекта в результате флуктуаций (то есть, случайно, мгновенно), выше, чем в результате эволюции. При условии, что время жизни Вселенной не ограничено.

История [ править ]

Постоянная Больцмана названа в честь ее австрийского первооткрывателя 19 века Людвига Больцмана . Хотя Больцман впервые связал энтропию и вероятность в 1877 году, это отношение никогда не выражалось конкретной константой, пока Макс Планк впервые не ввел k и не дал для него более точное значение (1,346 × 10 −23  Дж / К , что примерно на 2,5% ниже сегодняшнего значения) в его выводе закона излучения черного тела в 1900–1901 гг. До 1900 года уравнения, включающие факторы Больцмана, записывались не с использованием энергии, приходящейся на молекулу, и постоянной Больцмана, а с использованием формы газовой постоянной R и макроскопических энергий для макроскопических количеств вещества. Иконическая лаконичная форма уравнения S = k ln W на надгробии Больцмана на самом деле принадлежит Планку, а не Больцману. Планк фактически представил его в той же работе, что и его одноименный h .

В 1920 году Планк написал в своей лекции о присуждении Нобелевской премии :

Это «своеобразное положение дел» иллюстрируется ссылкой на одну из великих научных дискуссий того времени. Во второй половине девятнадцатого века существовало значительное разногласие относительно того, являются ли атомы и молекулы реальными или они были просто эвристическим инструментом для решения проблем. Не было согласия относительно того, являются ли химические молекулы, измеренные атомным весом , такими же, как физические молекулы, измеренные кинетической теорией . Лекция Планка 1920 года продолжалась:

В версиях СИ до переопределения основных единиц СИ в 2019 году постоянная Больцмана была измеренной величиной, а не фиксированным значением. Его точное определение также менялось на протяжении многих лет из-за переопределения кельвина (см. Кельвин § История ) и других основных единиц СИ (см. Джоуль § История ).

В 2017 году наиболее точные измерения постоянной Больцмана были получены с помощью акустической газовой термометрии, которая определяет скорость звука одноатомного газа в трехосной эллипсоидной камере с помощью микроволнового и акустического резонансов. Эти десятилетние усилия были предприняты с использованием разных методов в нескольких лабораториях; это один из краеугольных камней переопределения базовых единиц СИ в 2019 году . Основываясь на этих измерениях, CODATA рекомендовал 1,380 649 × 10 −23 Дж⋅К −1 в качестве окончательного фиксированного значения постоянной Больцмана, которое будет использоваться в Международной системе единиц .

Универсальные физические постоянные (фундаментальные константы)


Можно было бы думать, что свойства мира определяются такими универсальными постоянными,
как скорость света, заряд электрона или постоянная Планка, но это не так.
Если бы даже каждая из этих постоянных изменилась, но изменилась так, что численное значение «альфа»
по-прежнему осталось бы равным 1/137, мир тоже остался бы прежним,
и мы никогда не смогли бы опознать, что в нем что-то изменилось.
Но если «альфа» изменится хотя бы на одну миллионную, свойства нашего мира станут совершенно другими —
например, в нем не сможет существовать жизнь.

(физик Джон Бэрроу)

Первичные физические постоянные

Свет от квазаров на своем пути длиной в миллиарды лет проходит через межзвездные облака металлов (железа, никеля, хрома).
В 1997 при его исследовании обнаружили, что он поглотил некоторые из фотонов света квазара. Но не те, которые ожидалось.
Единственное непроверенное разумное объяснение состоит в том, что постоянная тонкой структуры, или альфа (α),
имела различное значение в то время, когда свет проходил через облака.
Но ведь альфа определяет, как свет взаимодействует с материей, и не должна меняться.
Ее значение зависит от заряда электрона, скорости света и постоянной Планка. Какая же постоянная изменилась?

Согласно Н. Косинову, проведенные исследования показали, что используемые в современной физике
фундаментальные физические константы непосредственно происходят от перечисленных ниже констант вакуума:

  • hu = 7,69558071(63)·10–37 Дж·с.
  • Gu = 2,56696941(21)·10–45 Н·с2.
  • Ru = 29,9792458 Ом.
  • tu = 0,939963701(11)·10–23 с.
  • lu = 2,817940285(31)·10–15 м.

Вторичные физические постоянные

Установлено, что современные фундаментальные физические постоянные имеют вторичный статус по отношению к найденным константам
и представляют собой различные комбинации констант hu, tu, lu и чисел π и α.
Константам, входящим в hu-tu-lu-π-α-базис, определен специальный статус – как универсальные суперконстанты.
На основе универсальных суперконстант получено новое значение гравитационной постоянной Ньютона, планковских констант
и найдена универсальная формула силы .

Новые фундаментальные физические константы дают широкие возможности для установления новых физических законов
и поиска констант взаимодействия для различных физических законов.

Все фундаментальные физические постоянные:

  • Основные механические константы:
    • Постоянная тонкой структуры α = 0,072973506; 1/α = 137,03604.
    • Гравитационная постоянная G = 6,6720·10-11 Н·м2·кг-2.
    • Скорость света в вакууме с = 2,99792458·108 м·с-1.
    • Постоянная Планка ħ = 6,626176·10-34 Дж·с.
  • Наименьшие из известных расстояний:
    • Радиус первой боровской орбиты a = 0,52917706·10-10 м.
    • Классический радиус электрона re = 2,8179380·10-15 м.
    • Постоянная Ридберга R = 10973731,77 м-1.
  • Массы и энергии стабильных частиц:
    • Масса покоя электрона me = 9,109534·10-31 кг 5,4858026·10-4 а.е.м.
    • Энергия покоя электрона me·c2 = 0,5110034 МэВ.
    • Масса покоя протона mp = 1,6726485·10-27 кг = 1,007276470 а.е.м.
    • Энергия покоя протона mp·c2 = 938,2796 МэВ.
    • Масса покоя нейтрона mn = 1,6749543·10-27 кг = 1,008665012 а.е.м.
    • Энергия покоя нейтрона mn·c2 = 939,5731 МэВ.
    • Отношение массы протона к массе электрона mp/me = 1836,15152.
    • Атомная единица массы (10-3 кг·моль-1)/NA,
      а.е.м. = 1,6605655(86)·10-27 кг.
    • Массы атомов в а.е.м.:
      водород 1H — 1,007825036;
      дейтерий 2H — 2,014101795;
      гелий-4 4He — 4,002603267.
    • Энергетические эквиваленты:
      а.е.м. = 931,5016 МэВ;
      1 электронвольт = 1,6021892·10-19 Дж.
    • Энергия kT (при 25 °C) — энергетические эквиваленты:
      4,11·10-21 Дж;
      9,83·10-22 Кал;
      0,0256 эВ;
      2,479 кДж/моль;
      0,593 кКал/моль.
  • Магнитно-электрические константы:
    • Магнитная постоянная μ = 4π·10-7 Гн·м-1 = 1,25663706144·10-6 Гн·м-1.
    • Электрическая постоянная ε = (μc2)-1 8,85418782·10-12 Ф·м-1.
    • Заряд электрона (абс. величина) e = 1,6021892·10-19 Кл = 4,803242·10-10 уд. СГСЭ.
    • Отношение заряда электрона к его массе e/me = 1,7588047·1011 Кл·кг-1.
    • Магнетон Бора μБ = 9,274078·10-24 Дж·Тл-1.
    • Ядерный магнетон μN = 5,050824·10-24 Дж·Тл-1.
    • Магнитный момент нейтрона в ядерных магнетонах μnN = 1,91315.
    • Магнитный момент протона в ядерных магнетонах μpN = 2,7928456.
    • Отношение Джозефсона 2e/h = 4,835939·1014 Гц·В-1.
    • Квант магнитного потока Ф = h/2e = 2,0678506·10-15 Вб.
  • Аэродинамические константы:
    • Постоянная Авогадро NA = 6,022045·1023 моль-1.
    • Постоянная Фарадея F = NA·e = 96484,56 Кл·моль-1.
    • Молярная газовая постоянная R = 8,31441 Кл·моль-1·K-1.
    • Объем моля идеального газа при нормальных условиях (1 атм, T0 = 273,15 К)
      Vm = 22,41383·10-3 м3·моль-1.
    • Постоянная Больцмана k = R/NA = 1,380662·10-23 Дж·К-1.

Физический смысл постоянной Больцмана

Исторически
температура была впервые введена как
термодинамическая величина, и для нее
была установлена единица измерения —
градус (см. § 3.2). После установления
связи температуры со средней кинетической
энергией молекул стало очевидным, что
температуру можно определять как среднюю
кинетическую энергию молекул и выражать
ее в джоулях или эргах, т. е. вместо
величины Т
ввести
величину Т*
так,
чтобы

Определенная таким
образом температура связана с температурой,
выражаемой в градусах, следующим образом:

Поэтому постоянную
Больцмана можно рассматривать как
величину, связывающую температуру,
выражаемую в энергетических единицах,
с температурой, выраженной в градусах.

Формула Больцмана барометрическая

В поле тяготения Земли точное решение уравнения Больцмана показывает:

(16)

где n=
плотность у поверхности Земли, 1/м3; g
– ускорение силы тяжести, м/с2; h
высота, м. Формула (16) является точным решением кинетического уравнения
Больцман либо в безграничном пространстве, либо при наличии границ, не
нарушающих этого распределения, при этом температура также должна оставаться
постоянной.

Эта страница оформлена Пузиной Ю.Ю. при поддержке Российского Фонда Фундаментальных
Исследований – проект №08-08-00638.

Следующая страница: Философия молекулярно-кинетического подхода

    Главная   • Больцманиада   • Именные достижения  

Ссылки [ править ]

  1. ^ Международная система единиц (SI) (9-е изд.), Bureau International des Poids et Mesures, 2019, стр. 129
  2. ^ Ричард Фейнман (1970). Фейнмановские лекции по физике Том I . Эддисон Уэсли Лонгман. ISBN 978-0-201-02115-8.
  3. ^ «2018 CODATA Value: постоянная Больцмана» . Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . 20 мая 2019 . Проверено 20 мая 2019 .
  4. ^ «Труды 106-го заседания» . 16–20 октября 2017 г.
  5. ^ Петруччи, Ральф Х .; Харвуд, Уильям S .; Херринг, Ф. Джеффри (2002). ОБЩАЯ ХИМИЯ: принципы и современные приложения (8-е изд.). Прентис Холл. п. 785. ISBN 0-13-014329-4.
  6. ^ «2018 CODATA Value: elementary charge» . Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . 20 мая 2019 . Проверено 20 мая 2019 .
  7. ^ Рашид, Мухаммад Х. (2016). Микроэлектронные схемы: анализ и проектирование (Третье изд.). Cengage Learning. С. 183–184. ISBN 9781305635166.
  8. ^ Катальдо, Энрико; Лието, Альберто Ди; Маккарроне, Франческо; Паффути, Джампьеро (18 августа 2016 г.). «Измерение и анализ вольт-амперной характеристики pn-диода для физической лаборатории бакалавриата». arXiv1608.05638v1Physics.ed -ph
  9. ^ Кирби, Брайан Дж. (2009). Микро- и наномасштабная механика жидкости: транспорт в микрофлюидных устройствах . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-11903-0.
  10. ^ Табелинг, Патрик (2006). Введение в микрофлюидику . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-856864-3.
  11. ^ Планк, Макс (1901), «Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum», Ann. Phys. , 309 (3): 553–63, Bibcode1901AnP … 309..553P , doi10.1002 / andp.19013090310. Английский перевод: «О законе распределения энергии в нормальном спектре» . Архивировано из оригинала 17 декабря 2008 года.
  12. ^ Duplantier, Bertrand (2005). «Le mouvement brownien, ‘divers et ondoyant . Séminaire Poincaré 1 (на французском языке): 155–212.
  13. ^ a b Планк, Макс (2 июня 1920 г.), Происхождение и современное состояние развития квантовой теории (Нобелевская лекция)
  14. ^ Питр, L; Sparasci, F; Рисегари, L; Guianvarc’h, C; Мартин, C; Химберт, штат Мэн; Плиммер, доктор медицины; Аллард, А; Марти, B; Джулиано Альбо, Пенсильвания; Гао, B; Moldover, MR; Мель, Дж. Б. (1 декабря 2017 г.). «Новое измерение постоянной Больцмана с помощью акустической термометрии газа гелия-4» . Метрология . 54 (6): 856–873. Bibcode2017Metro..54..856P . DOI10.1088 / 1681-7575 / aa7bf5 . S2CID 53680647 . Архивировано из оригинального 5 марта 2019 года.
  15. ^ де Подеста, Майкл; Марк, Даррен Ф.; Даймок, Росс С; Андервуд, Робин; Бакварт, Томас; Саттон, Гэвин; Дэвидсон, Стюарт; Мачин, Грэм (1 октября 2017 г.). «Повторная оценка отношений изотопов аргона, ведущая к пересмотренной оценке постоянной Больцмана» . Метрология . 54 (5): 683–692. Bibcode2017Metro..54..683D . DOI10.1088 / 1681-7575 / aa7880 .
  16. ^ Ньюэлл, DB; Cabiati, F .; Фишер, Дж .; Fujii, K .; Каршенбойм С.Г .; Марголис, HS; Мирандес, Э. де; Mohr, PJ; Нез, Ф. (2018). «Значения h, e, k и NA в CODATA 2017 для пересмотра SI» . Метрология . 55 (1): L13. Bibcode2018Metro..55L..13N . DOI10.1088 / 1681-7575 / aa950a . ISSN 0026-1394 .
  17. ^ Калинин, М; Кононогов, S (2005), «постоянная Больцмана, Энергетическая Значение температуры и термодинамическое Необратимость», технологии измерения , 48 (7): 632-36, DOI10.1007 / s11018-005-0195-9 , S2CID 118726162

Постоянная Больцмана

Постоянная Больцмана перекидывает мост из макромира в микромир, связывая температуру с кинетической энергией молекул.

Людвиг Больцман — один из создателей молекулярно-кинетической теории газов, на которой зиждется современная картина взаимосвязи между движением атомов и молекул с одной стороны и макроскопическими свойствами материи, такими как температура и давление, с другой. В рамках такой картины давление газа обусловлено упругими ударами молекул газа о стенки сосуда, а температура — скоростью движения молекул (а точнее, их кинетической энергией).Чем быстрее движутся молекулы, тем выше температура.

Постоянная Больцмана дает возможность напрямую связать характеристики микромира с характеристиками макромира — в частности, с показаниями термометра. Вот ключевая формула, устанавливающая это соотношение:

    1/2 mv2 = kT

Это уравнение прокладывает мостик между двумя мирами, связывая характеристики атомного уровня (в левой части) с объемными свойствами (в правой части), которые можно измерить при помощи человеческих приборов, в данном случае термометров.

Эту связь обеспечивает постоянная Больцмана k, равная 1,38 x 10–23 Дж/К.

Раздел физики, изучающий связи между явлениями микромира и макромира, называется статистическая механика. В этом разделе едва ли найдется уравнение или формула, в которых не фигурировала бы постоянная Больцмана. Одно из таких соотношений было выведено самим австрийцем, и называется оно просто уравнение Больцмана:

    S = k log p + b

где S — энтропия системы (см. Второе начало термодинамики), p — так называемый статистический вес (очень важный элемент статистического подхода), а b — еще одна константа.

Всю жизнь Людвиг Больцман в буквальном смысле опережал свое время, разрабатывая основы современной атомной теории строения материи, вступая в яростные споры с подавляющим консервативным большинством современного ему научного сообщества, считавшего атомы лишь условностью, удобной для расчетов, но не объектами реального мира. Когда его статистический подход не встретил ни малейшего понимания даже после появления специальной теории относительности, Больцман в минуту глубокой депрессии покончил с собой. Уравнение Больцмана высечено на его надгробном памятнике.

Лабораторная работа по физике «Определение постоянной Стефана-Больцмана»

  • Вид работы: Лабораторная работа
  • Предмет: Физика
  • Тема: «Определение постоянной Стефана-Больцмана»

Краткое теоретическое содержание работы

Интегральной излучательной способностью R называется величина, равная количеству энергии излучаемой ежесекундно единицей поверхности тела по всем направлениям с учетом всех длин волн испускаемых телом

Спектральной излучательной способностью rλ называется величина, равная количеству энергии излучаемой ежесекундно с единицы поверхности тела по всем направлениям с длинами волн рассчитанная на единичный интервал длин волн

R_0=σT^4

где σ — постоянная Стефана-Больцмана

R=a_T σT^4

где aT — коэффициент черноты

Принцип работы пирометра с исчезающей нитью:

  1. Основан на сравнении (визуальном) спектральных излучательных способностей раскаленной нити лампы пирометра и исследуемого тела при той же длине волны.
  2. Оптическая схема пирометра
  3. Обозначения:
  4. 1 — Светофильтр
    2 — Нить лампы
    3 — Объектив
    4 — Миллиамперметр
    5 — Окуляр
  5. 6 — Реостат

Нагреваемым телом служит Окись нихрома (пластинка)

Расчётные формулы

Постоянная Стефана – Больцмана:

Ответ в течение 5 минут!Без посредников!

где

  • I — Сила тока
  • U — Напряжение на пластинке
  • αT — Коэффициент черноты данного тела
  • S — Поверхность излучателя
  • T — Истинная температура

где

  • k — Постоянная Больцмана
  • c — Скорость света в вакууме
  • σ — Постоянная Стефана-Больцмана

График зависимости истинной температуры T от яркостной Tяр:

Результаты расчётов

  • σ1 = (17∙1,25)/(0,95∙35∙〖10〗^(-6)∙〖1248〗^4 )=4,78∙〖10〗^(-8) (Вт/м^2∙К^4)
  • σ2 = (18∙1,33)/(0,95∙35∙〖10〗^(-6)∙〖1298〗^4 )=5,09∙〖10〗^(-8) (Вт/м^2∙К^4)
  • σ3 = (19∙1,39)/(0,95∙35∙〖10〗^(-6)∙〖1348〗^4 )=5,43∙〖10〗^(-8) (Вт/м^2∙К^4)
  • ((4,78+5,09+5,43)∙〖10〗^(-8))/3=5,11∙〖10〗^(-8) (Вт/м^2∙К^4)
  • ∛((2∙(3,14)^5∙(1,38∙〖10〗^(-23) )^4)/(15∙(3∙〖10〗^8 )^2∙5,1∙〖10〗^(-8) ))=6,864∙〖10〗^(-34) (Дж∙с)

Обработка результатов измерений

Формула относительной погрешности измерений:

  • σ_сист=σ ̅∙√(((∆I/I)^2+(∆U/U)^2+(∆S/S)^2+(∆T/T)^2 ) )
  • σ_сист=5,11∙〖10〗^(-8)∙√(((0,5/17)^2+(0,005/1,25)^2+((5,5∙〖10〗^(-6))/(35∙〖10〗^(-6) ))^2+((4∙0,5)/1248)^2 ) )=2,94∙〖10〗^(-9)
  • σ_сл=t_(p,N) √((∑▒(σ ̅-σ_i )^2 )/(N(N-1))=) 4,3∙√((0,221∙〖10〗^(-16))/3(3-1) =8,28)∙〖10〗^(-9) (Вт/м^2∙К^4 )
    ∆σ=√((σ_сл )^2+(σ_сист )^2 )=√((8,28∙〖10〗^(-9) )^2+(2,94∙〖10〗^(-9) )^2 )=8,78∙〖10〗^(-9) (Вт/м^2∙К^4 )

где

Среднее значение постоянной Стефана-Больцмана

  • ΔI — погрешность силы тока
  • ΔU — погрешность напряжения
  • ΔS — погрешность площади пластинки
  • ΔT — погрешность истинной температуры

ΔS = ∆S=S∙√(((∆l/l)^2+(∆d/d)^2 ) )=35∙〖10〗^(-6)∙√(((0,05/1)^2+(0,05/35)^2 ) )=5,52 〖мм〗^2

где

  • Δl — погрешность длины пластинки
  • Δd — погрешность толщины пластинки
  • ΔI = 0,5 А
  • ΔU = 0,005 В
  • Δl = 0,05 мм
  • Δd = 0,05 мм
  • ΔS = 5,52•10-6 м
  • ΔT = 0,5 К

8,78∙〖10〗^(-9) ( Вт/м^2∙К^4 )

Определили постоянную Больцмана:

σ=(5,11±0,87)∙〖10〗^(-8) (Вт/м^2∙К^4)

А табличное значение:

σ_табл=5,67∙〖10〗^(-8) (Вт/м^2∙К^4)

Лежит в области погрешности.

И определили постоянную Планка:

h=6,864∙〖10〗^(-34) (Дж∙с)

Они практически сравнима с табличным:

Прикрепленные файлы:

Ответ в течение 5 минут!Без посредников!

reportO14

Администрация сайта не рекомендует использовать бесплатные работы для сдачи преподавателю. Эти работы могут не пройти проверку на уникальность. Узнайте стоимость уникальной работы, заполните форму ниже: Узнать стоимость
Скачать файлы:

Зависимость давления газа от концентрации его молекул и температуры

Выразив
Е
из
соотношения (4.5.5) и подставив в формулу
(4.4.10), получим выражение, показывающее
зависимость давления газа от концентрации
молекул и температуры:

(4.5.6)

Из формулы (4.5.6)
вытекает, что при одинаковых давлениях
и температурах концентрация молекул у
всех газов одна и та же.

Отсюда следует
закон Авогадро: в равных объемах газов
при одинаковых температурах и давлениях
содержится одинаковое число молекул.

Средняя
кинетическая энергия поступательного
движения молекул прямо пропорциональна
абсолютной температуре. Коэффициент
пропорциональности

постоянную
Больцмана
k
=
10 -23 Дж/К
надо
запомнить.

Ссылки

  1. абCODATA, 2006
  2. Max Planck «Ueber das Gesetz der
    Energieverteilung im Normalspectrum» // Annalen der Physik. — . — Т. 309. — № 3. — С. 553–63.. English
    translation: «On the Law of Distribution of
    Energy in the Normal Spectrum».
  3. аб Max Planck «The Genesis and Present State
    of Development of the Quantum Theory (Nobel Lecture)». — 2 June 1920.
  4. Федосин С.
    Г. Физика и философия подобия от
    преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, 544 стр., Табл.66,
    Ил.93, Библ. 377 назв. ISBN 5-8131-0012-1.
  5. Kalinin, M; Kononogov, S
    «Boltzmann’s Constant, the Energy Meaning of Temperature, and
    Thermodynamic Irreversibility» // Measurement Techniques. —
    2005. — Т. 48. —
    № 7. — С. 632–36.

Статистика Больцмана

Число
различных конфигураций системы из N частиц для
данного набора чисел ni (число
частиц, находящихся в i-том состоянии, которому
соответствует энергия ei) пропорционально величине:

(5)

Величина W есть число способов распределения N
частиц по энергетическим уровням. Если справедливо соотношение (6) то
считается, что исходная система подчиняется статистике Больцмана. Набор чисел ni, при котором число W
максимально, встречается наиболее часто и соответствует наиболее вероятному
распределению.

Физическая
кинетика
– микроскопическая теория процессов в статистически неравновесных
системах.

Описание
большого числа частиц может успешно осуществляться вероятностными методами. Для
одноатомного газа состояние совокупности молекул определяется их координатами и
значениями проекций скоростей на соответствующие координатные оси.
Математически это описывается функцией распределения, характеризующей
вероятность пребывания частицы в данном состоянии:

(6)

есть ожидаемое число молекул в
объеме dd,
координаты которых находятся в интервале от до +d, а скорости в интервале от  до +d.

Как соотносится энергия и температура

При абсолютной температуре T в идеальном однородном газе на каждую поступательную степень свободы приходится энергия \(kT/2\), что следует из распределения Максвелла. Значение этой энергии при 300 К (комнатной температуре) составляет примерно

\(2.07\times10^{-21} Дж.\)

В идеальном одноатомном газе каждый атом имеет три степени свободы, которые соответствуют трем пространственным осям. Поэтому энергию, приходящуюся на каждый атом можно выразить как

\(\frac{3kT}2\)

Если известна величина тепловой энергии, то нетрудно рассчитать среднеквадратичную скорость атомов. Она будет обратно пропорциональна корню квадратному из атомной массы. Например, при температуре 300 К среднеквадратичная скорость молекул ксенона составит 240 м/с, а гелия — 1370 м/с.

Вычисления для молекулярного газа усложняются. Это связано с увеличением степеней свобод. Так, например, при низкой температуре двухатомный газ имеет уже две вращательных и три поступательных степеней свободы. Рассмотрим решение конкретной задачи.

Задача

Газ состоит из N-атомных объемных молекул и находится при определенной температуре Т, при которой у молекул возбуждены колебательные, вращательные и поступательные степени свободы. Найти среднюю энергию молекул этого газа.

Решение

На каждую степень свободы в среднем приходится одинаковая величина кинетической энергии (закон равномерного распределения энергии по степеням свободы), которая равна

\(\left\langle\Sigma_i\right\rangle=\frac{kT}2\)

Тогда можно утверждать, что средняя энергия молекулы составит

\(\left\langle\Sigma\right\rangle=\frac{ikT}2\)

Сделаем небольшое пояснение: i — сумма поступательных, вращательных и удвоенного количества колебательных степеней свободы, то есть

\(i=m_{post}+m_{vr}+2m_{kol}\)

Теперь необходимо определить сколько степеней свободы имеют молекулы рассматриваемого газа:

\(m_{post}=3, m_{vr}=3\)

тогда \(m_{kol}=3N-6\)

\(i=6+6N-12=6N-6\)

\(\left\langle\Sigma\right\rangle=\frac{6N-6}2kT\)

Сокращаем полученное выражение и получаем:

\(\left\langle\Sigma\right\rangle=\left(3N-3\right)kT\)

Краткое описание

Талантливый Людвиг Больцман — один из крупнейших учёных XIX века. Именно этот человек в своё время внёс колоссальный вклад в развитие молекулярно-кинетической теории.

Целеустремлённость Больцмана повлекла за собой то, что он стал одним из главных основателей статической механики.

Людвиг был автором многогранной эргодической гипотезы, статистического метода в подробном толковании идеального газа, который был основан на уравнении физической кинетики.

Больцман все свои силы вложил в то, чтобы общественность могла больше узнать о термодинамике. В итоге он смог вывести теорему, где подробно описал статистический принцип для второго начала термодинамики.

Физики высоко ценят точку зрения Больцмана, так как в результате многочисленных попыток он смог описать теорию излучения. В своих работах он неоднократно затрагивал вопросы электродинамики, оптики. Имя этого талантливого учёного было увековечено сразу в двух физических константах.

В своё время Больцман был убеждённым и последовательным сторонником теории многогранного атомно-молекулярного строения вещества.

В течение многих лет он был вынужден бороться с непониманием и отрицательными отзывами по отношению к его работам в научном сообществе того времени. Многие физики полагали, что молекулы и атомы представляют собой излишнюю абстракцию.

Коллеги Больцмана были настроены весьма консервативно, из-за чего у талантливого физика возникла депрессия, с которой он так и не смог справиться. Учёный покончил с собой.

На надгробном памятнике в знак огромной признательности к его заслугам было выбито уравнение S = k * logW. В этом уравнении константа k является произведением постоянной Больцмана. Для решения задач нужно соблюдать размерность физической величины.

Связь с другими законами состояния идеального газа

С помощью уравнения состояния идеального газа можно исследовать процессы, в которых масса и один трех макропараметров (давление, температура или объем) — остаются неизменными.

Количественные зависимости между двумя параметрами газа при фиксированном третьем параметре называют газовыми законами, которые связывают эти параметры.

В зависимости от того, какой параметр остается неизменным различают разные процессы, которые выражаются законами, являющимися следствием уравнения состояния газа:

  • изотермический процесс (T=const);
  • изохорный процесс (V=const);
  • изобарный процесс (p=const).

Изотермический процесс (T=const)

Для поддержания температуры газа постоянной необходимо, чтобы он мог обмениваться теплотой с большой системой — термостатом. Им может служить атмосферный воздух, если температура его заметно не меняется на протяжении всего процесса.

Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева, в любом состоянии с неизменной температурой произведение давления газа на объем одно и то же, то есть постоянно:

Этот закон был открыт экспериментально английским ученым Бойлем и несколько позднее французским ученым Мариоттом. Именно поэтому он называется закон Бойля-Мариотта.

Закон Бойля-Мариотта справедлив для любых газов, а также для смеси газов (например, для воздуха).

Зависимость давления газа от объема при постоянной температуре изображается графической кривой — изотермой. Изотерма для различных температур представлена в координатах pV на рис.1. и представляет собой гиперболу.

Рис.1. Изотерма в pV — координатах.

Изохорный процесс (V=const)

Из уравнения состояния следует, что отношение давлений газа данной массы при постоянно объеме равно отношению его абсолютных температур:

Газовый закон был установлен экспериментально в 1787 г. французским физиком Ж. Шарлем и носит название закона Шарля: давление данной массы газа при постоянном объеме прямо пропорционально абсолютной температуре.

Зависимость давления газа от температуры при постоянном объеме изображается графически прямой, которая называется изохорой (Рис.2).

Рис.2 Изображение изохоры в pT-координатах.

Изобарный процесс (p=const)

Из уравнения Клапейрона-Менделеева вытекает, что отношение объемов газа данной массы при постоянном давлении равно отношению его абсолютных температур.

Если в качестве второго состояния газа выбрать состояние при нормальных условиях (нормальном атмосферном давлении, температуре таяния льда) следует:

Этот газовый закон был установлен экспериментально в 1802 г французским ученым Гей-Люссаком.

Зависимость объема газа от температуры при постоянном давлении изображается графической прямой, которая называется изобарой (Рис.3).

Рис. 3. Изобара в VT-координатах.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Editor
Editor/ автор статьи

Давно интересуюсь темой. Мне нравится писать о том, в чём разбираюсь.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Идеи обучения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: